こんにちは。
中間値の定理についての質問です。
「・中間値の定理
Xを位相空間、f : X → R を連続関数とする。
Xが連結で、x1,x2 ∈ X が f (x1) < f (x2) を満たすとき、f (x1) < t < f (x2)を満たす任意の t に対して、
f (x) = t をみたすx∈Xが存在する。 」
授業や参考書では以下のようにして証明していました。
「(概略)
このようなxが存在しないと仮定する。
このとき、f (X) ⊂ (-∞ , t) ∪ (t , ∞) となる。
したがって、f (X) ∩ (-∞ , t) と f (X) ∩ (t , ∞) は f (X) の分離となる。
これはf (X) の連結性に矛盾する。
よって題意をみたすxが存在する。 」
しかし、私は次のように証明しました。
「このようなxが存在しないと仮定する。
A = f^(-1) ((-∞ , t)) , B = f^(-1) ((t , ∞)) とおく。
fの連続性からAとBはともに開集合。
さらに x1∈ A , x2 ∈ B よりAとBはともに空集合ではない。
A∪B = X , A∩B = φよりAとBはXの分離になる。
これはXの連結性に矛盾する。
よって題意をみたすxが存在する。 」
この私の証明でどこか間違った部分はあるのでしょうか?
思わぬところでミスがありそうで不安でしたので質問しました。
わかる方がいましたら回答よろしくお願いします。
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