3次対称群S3はシロー部分群で因数分解できない この問題の証明が分かりません。できる範囲で教えていた

3次対称群S3はシロー部分群で因数分解できない

この問題の証明が分かりません。できる範囲で教えていただけると幸いです。

ここでいう｢因数分解できる｣とは、
命題 群GとN1,N2≦Gに対し、次の(Ⅰ)と(Ⅱ)は同値
(Ⅰ)(ⅰ)N1,N2◁G (ⅱ)N1N2=G (ⅲ)N1∩N2={e}
(Ⅱ)(ⅰ)x1∈N1,x2∈N2に対し、x1x2=x2x1
(ⅱ)x∈Gに対し、x1∈N1,x2∈N2がそれぞれ唯1つ存在し、x=x1x2
が成り立つことを指しています。

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/12/13 16:50

S3={1,(1,2),(1,3),(2,3),(1,2,3),(1,3,2)}

の部分群は
S3
{1,(1,2,3),(1,3,2)}
{1,(1,2)}
{1,(1,3)}
{1,(2,3)}
{1}
の
6つあるけれども

{1,(1,2)}
{1,(1,3)}
{1,(2,3)}
の3つはいずれも正規部分群ではない

正規部分群は
S3
{1,(1,2,3),(1,3,2)}
{1}
の3つだけで

正規シロー部分群は
{1,(1,2,3),(1,3,2)}
だけだから

3次対称群S3はシロー部分群で因数分解できない