3次関数の定数の求め方

とある任意の2点p1(x1,y1)、p1(x2,y2)が与えられた時に
3次関数y=ax^3+bx^2+cx+dのa,b,c,dはどのようにして求めればよいのでしょうか。。
2次関数までは結構簡単に求められたのですが・・・
3次になった途端やり方がまったくわかりません。。

どなたか教えていただけないでしょうか。

No.4 回答者： masudaya 回答日時： 2010/01/07 14:10

p1を平行移動後の原点とすると，

補足の考えで行くと，この式は
y=a'(x-x1)^3+b'(x-x1)^2+c'(x-x1)+y1
となります.ここで，p2(x2,y2)とp1に対称な点p3(2*x1-x2,2*y1-y2)
(3次関数なので原点に対して対称になる.但し,x2>x1,y2>y1の場合)
これらを代入しても,方程式が2つで未知数が3つなので解けません.

2次関数の場合は
y=a'(x-x1)^2+b'(x-x1)+y1
にp2(x2,y2)とp3(2*x1-x2,y2)を代入すれば
方程式が2つで未知数も2つなので解けます.

分かりますでしょうか？

No.3 回答者： Duke_Mike 回答日時： 2010/01/07 14:03

二次関数の一般式は

y=ax^2+bx+c
三次関数の一般式は
y=ax^3+bx^2+cx+d

さてここで必要になってくるのは、中学生のころにやった連立方程式の問題です。

二次方程式の場合、係数がa,b,cの３つに対して3次方程式の場合a,b,c,dの4点になります。n文字の式を関してn個の解を求めるにはn個の式が必要になる。つまりはｎ個の条件が必要になるのです。

例えば,二次関数の場合、一般式に3個の係数が出てくるため、3個の条件が必要になります。(条件を満たす関数郡を求めよとかなら話は変わりますが)

任意の点2点で解けるのは一次関数の場合のみだと考えられます。

一般的に文字式を解かない方法であれば、条件が二つ例えば二次関数の場合頂点と開き？(二次関数の係数）が分れば求められます。

この様な場合はさまざまなケースがあり工夫が必要です。
ケースバイケースで工夫するため、自分でどのように解けばいいか
考えざるを得ません。教えられるのは、ある問題が出されたとき、
私達ならどう解くかという話ですので、抽象論では語れません。

もし形式的に全て網羅したいという場合は参考書で沢山の問題をやるのがいいでしょう。

No.2 回答者： koko_u_u 回答日時： 2010/01/07 13:20

補足をもらえばわかるかと思いきや、まったくわからんかった。

。。
「2点から2次関数を求める」とか「2点から3次関数を求める」とかの意味がわかりません。

>この2点からp3(2*x1-x2,y2)をだし

p3 の「意味」を補足にどうぞ。

この回答への補足

全く分かりづらい説明で申し訳ありませんでした。。。
まず、2次関数の時は凸型の関数と想定して、p1は関数の原点（？）で、p2は目標値の1つとしました。
p3というのはp2のp1に対象な位置にある点の事です。

拙い文章で本当に申し訳ないです。これでご理解いただけたでしょうか？

補足日時：2010/01/07 13:34

No.1 回答者： koko_u_u 回答日時： 2010/01/07 12:19

>2次関数までは結構簡単に求められたのですが・・・

じゃあ、それを補足に。

>3次になった途端やり方がまったくわかりません。。
2次関数の時とどう勝手が違うのかも補足に

この回答への補足

2次関数の時も同様にp1からp2へ変化するとして、この2点からp3(2*x1-x2,y2)をだし、3点のそれぞれでのy=ax^2+bx+cから連立方程式を解きました。
結果として
a=(y2-y1)/(x1-x2)^2
b=2x1(y1-y2)/(x1-x2)^2
x=y1+ax1^2
が導かれました。

3次でこれを同じように行おうとした場合に、p1とp2からp3のような点を出す方法が分からないです。。
一度p3を中点として考え、その3つの式＋中点での微分=0という4つの式からa,b,c,dを導いてみたのですが、2次関数のようなグラフになってしまいました。。。

補足日時：2010/01/07 12:20