線形代数I 空間における平面の交線

S1: x+2y+z=0 と S2: 2x+5y-z=0について
（１）S1とS2の交線Lの方程式を求めよ
（２）直線Lと平面S3: X+3y+z=3の交点Pの座標を求めよ
（３）直線Lを含み点（2,2,4）を含む平面S４の方程式を求めよ。

いっぱい調べたのですが根本がわかってないのでさっぱりです
助けてください！

No.1 回答者： info22_ 回答日時： 2012/02/12 20:56

(1)

S1,S2をx,yの連立方程式と見倣してx,yを求めると
　x=-7z,y=3z …(A)
従って交線Lの方程式は
　x/(-7)=y/3=z …(B-1)
または
　x/7=y/(-3)=z/(-1) …(B-2)

(2)
(A)をS3に代入して
　-7z+9z+z=3
　∴z=1
(A)に代入
　x=-7,y=3
∴交点P(-7,3,1)

(3)
S4を
　ax+by+cz=d　(ただしa,b,c,dは同時に0ではない)　…(C)
とおくと点（2,2,4）が(C)上にあることから
　2a+2b+4c=d
点P(-7,3,1)も(C)上にあることから
　-7a+3b+c=d …(D)
L上の点(7,-3,-1)も(C)上にあることから
　7a-3b-c=d　…(E)
(C),(D),(E)から
　b=3a,c=-2a,d=0　(a≠0)
(C)に代入
　ax+3ay-2az=0
a≠0で割って
平面S4の方程式は
　x+3y-2z=0


　

No.2 ベストアンサー 回答者： 151A48 回答日時： 2012/02/12 21:17

平面　ax+by+c=0　の式で　(a,b,c) はこの平面に垂直なベクトル（法線ベクトル）であることをまず押さえてください。

（１）LはＳ１，Ｓ２上ににあるので，それぞれの法線ベクトルに垂直です。従って，
　　　(1,2,1),(2,5,-1)に垂直なベクトルを求めれば，これがＬの方向ベクトルです。
　　求め方は　(x,y,z)とおいて内積０より求めます。一意には定まりませんが例えば(-7,3,1)
（これは，２つのベクトルの「外積」を求めることなのですが，簡単な求め方がありますので，調べてみて下さい）
２つの平面は原点を通っていますから，Ｌも原点を通ります。よってＬ上の点を(x,y,z)とすると
(x,y,z)=t(-7,3,1)　 tは任意の実数　が求める答えです。ただし通常tを消去して
x/(-7) =y/3 =z/1 の形にします。
（２）Ｌ上の点は(x,y,z)=(-7t, 3t, t)なのでＳ３のx,y,zに代入してt=1が求まると思いますので(-7,3,1)

（３）平面の方程式を作るには，その上の1点と，法線ベクトルが必要です。
　　　Ｓ４上には原点と(2,2,4)があります。
　　　法線はＬの方向ベクトル(-7,3,1)とベクトル(2,2,4)に垂直なので,例えば(1,3,-2)と出ます。
　　　Ｓ４上の任意の点を(x,y,z)とすると，ベクトル(x,y,z)とベクトル(1,3,-2)が垂直より（内積０）
　　　x+3y-2=0

＊座標は原点を始点と見たときベクトルです。
　

」

No.3 回答者： think2nd 回答日時： 2012/02/12 21:39

これ　高校生の問題です。

線形らしく解いても
　(1)はS1　S2とも同次方程式ですから原点を含みます。よって交線も原点を通ります。
S1　S2　の法線ベクトルがそれぞれベクトルa=(1,2,1)、ベクトルb=(2,5,-1)
　ですから、交線の方向ベクトルはa,bの外積ですa×b=(-7,3,1)
　より、交線Lの方程式は-x/7=y/3=z
　(2)は(1)を代入してx,yを消去すればできると思います。
　(3)　Lを含む平面の方程式はkを定数として
　　　x+2y+z+k(2x+5y-z)=0　(平面束のような式です。)とおけます。
　(2,2,4)を含みますからこの式に代入すると10+10k=0　∴k=-1ですから、
　求めるS4はx+3y-2z=0
　くらいです。図を書いて根本を理解しましょう。