塾の先生がキレた質問数学II

Question

２０１１年に学校で買った、数研出版の改訂版新編数学IIの教科書を使用しているものです。
 
その教科書のＰ８７の直線と領域の公式で
 
『直線y=mx＋kをｌとする。１．不等式ｙ＞mx＋kの表す領域は、直線ｌの上側の部分』
 
と書いてありました。
 
そこで、
 
「ｙをｍｘ＋ｋに代入して、y＞yとできますか？」・・・(1)
 
と、ひねくれた質問をして、先生が相変わらず分からないのをごまかすように説明し始めました。
 
長々と付き合ってられないので、先生の説明に対して「分かりません」と先生にはっきり言いました。
 
すると、なんと先生は僕に対して
 
「質問の意味が分からない」
 
と、言われました。
 
そこで、僕は
 
「質問の意味は分かるはずですよ？」
 
と、強気に言い返したところ。
 
また、ごまかしの説明→質問の意味が分からない→・・・とループし始めたので、
 
こちらも、お金を払っているわけですから、強気に「分からないんですよね？」と聞きました。
 
すると、驚いたことに少々キレ気味で開き直ったように「分からない」と言いました。
 
時間とお金を先生特有の高いプライドの為に無駄にしたというのに、なんでキレられなければいけないのか？
 
と、思い。
 
「そうなら、最初からそう言ってくださいよ。」
 
と、うなだれました。
 
続けて、「あー、こんなに長くやったのに分からなくて悔しい。」と、言った所
 
びっくりしたことに、
 
「じゃあ、他の塾に行って他の先生に聞け！」
 
と、キレられました。
 
確かに、僕もこういうひねくれた質問をしたのは悪いかもしれませんし、気を遣わず強気にはっきり言って先生の塾長からの信
 
用・先生としての立場・プライドを傷つけてしまったかもしれませんが、あくまで僕は客であって友達ではありまん。
 
それに、その日先生は遅刻してました。
 
・・・すみません、途中から愚痴になってしまいました。
 
気を取り直して再び書きます。
 
もうひとつ僕に過失があるとすれば、質問の仕方が悪かったこと。
 
そこで、(1)の質問の意味は分かりますか？
 
回答お願いします。

cozycube1 · Accepted Answer

準備として、たとえば、連立1次方程式を考えてみましょう。

y＝2x＋1　―(1)
　y＝x＋2　―(2)
　∴x＝1, y＝3　―(3)

考えるべきは、これが何を求めたかということになります。
　幾何学的に考えると、直交するx軸y軸の2次元平面で、式(1)(2)の二つの直線の交点が座標(3)ですね。
　そこ以外では、(1)(2)を同時に満たすことはできません。

>直線y=mx＋kをｌとする。１．不等式ｙ＞mx＋kの表す領域は、直線ｌの上側の部分

これは、

y＝mx＋k　―(4)
　y＞mx＋k　―(5)

の二つの式が与えられています。そこで、

>「ｙをｍｘ＋ｋに代入して、y＞yとできますか？」・・・(1)

とお考えになったわけですね。

あるいは連立1次方程式を解くように両辺を引き算すれば、「0＞0」というものを出すことも出来ます。

明らかに「0＞0」はおかしい結果です。

ひいては、「y＞y」もどんなyでも成り立ちません。この不等式で左辺と右辺に二つの違うyを想定することはできません。

なぜなら(4)はいかなるxについても対応するyがただ一つだけあり、逆にいかなるyについても対応するxただ一つだけあることを示しています。幾何学的には、そういう直線です。

ですから、その(4)を(5)に代入した結果の「y＞y」の両辺は同じyです。
　そして、それがいかなるyについても成り立つことを主張する不等式となります。
　これは矛盾する式であり、常に成り立ちません。

しかし、(4)も(5)もどこにも矛盾も何もない、まったく問題ない式です。

では何が矛盾を引き起こしたかということになります。

先の連立1次方程式に立ち返ってみると、解が求められたのは、幾何学的に考えれば、x軸y軸上の二つの直線に交点があったからです。もし、

y＝2x＋2　―(1)'
　y＝2x＋1　―(2)'

であったなら、辺々引き算すると「0＝1」などという矛盾した結果が出ます。
　これは(1)'(2)'に交点がないからです。つまり、(1)'(2)'を同時に満たすx,yがないわけです。

これが、(4)(5)にも言えます。幾何学的に考えると、(4)(5)は重なる部分が全くありません。それを示しているのが、質問者様が代入計算してみた「y＞y」、あるいは別計算で出る「0＞0」という、どちらも矛盾を引き起こすことであるわけです。

二つの1次式（不等式もOKです）を計算したらそういう矛盾が出た。ならば二つの式には交点、あるいは共有する領域がないということになります。

つまり、二つの1次式を同時に満たすx,yがないということですね。これでは代入しても、有用な結果は得られません。

余談的にちょっと変えてみましょう。

y＝mx＋k　―(4)
　y≧mx＋k　―(5)'

今度は、「y≧y」が出ますね。これは「y＝y」の場合だけ成り立ちます。数学的操作として問題ありません。

ここで考えるべきことは、そういう式変形で何を得たかということです。

xを消してしまっていますので、yだけが残っています。
　式変形しなければ、xとyの2次元の情報があったのに、yだけの1次元の情報になり、しかも「y＝y」という、いつでも成り立つ式を得たにすぎません。

数学的減少から連立方程式を作り、式変形で何か有用な結果を得ようとして、「1＝1」のような、何も情報を得られない結果を得ることがあります。
　私はそういうのを「罠にはまった」と呼んだりしています。他の罠としては、いつまで式変形しても変数が減らないとかもあります。

数学的操作が正しいからと言って、必ずしも欲しい情報が手に入るわけではないということですね。

講師の方の正確な言葉が分かりませんが、そういう説明がなかったのなら、あまり応用力がない方だったのかも知れません。

しかし、頭のいい人は往々にして、たとえば「計算して1＝1になりました。そこから何が分かりますか？」と訊かれて、何を訊かれているか分からないこともあります。

どちらの場合でも、上記のような「罠にはまった」経験が少ないと、そうなるようにも思います（と、罠にはまりまくりの人間として思ったり^^;）。

stomachman · Answer

ANo.18のコメントについてです。

> 脳科学で脳は鍛えられると証明されている。つまり、どんな凡人でも徹底的に頭を鍛えると、回答者さんのいう才能のある人になれるということですね。しかし、これは後先的なことなので才能とはいはない。

引用した文章は自己矛盾しています。これは論理の問題ですね。誤りは「どんな凡人でも徹底的に頭を鍛えると、回答者さんのいう才能のある人になれる」という部分にあり、なぜなら、「才能は後天的でないものであるとするならば、後天的に脳を鍛えても才能のある人になれない」が正しいことは（論理的に、つまり内容とは無関係に）明らかだからです。
　もしこれが「才能のある人」ではなく「実力のある人」と書いてあったならば、論理だけで誤りとは言えません。「脳は鍛えられる」のはよく知られた事実であり、筋肉や運動能力を鍛えるのと良く似ています。（「鍛えれば、いくらでも頭が良くなったり、いくらでも運動がうまくなったりする」ということまでは意味していませんが。）だから、「頭を鍛える」ことによって講師の実力が向上するでしょう。ことに「算数が上手にできる能力」のような単純な能力は比較的鍛えやすいから、学習塾の講師のレベル程度になら鍛えられる「凡人」も多いでしょう。しかし、講師の実力に関わる別の能力、たとえば「他者からの感情的な挑戦に対して、自分の感情をコントロールする能力」などは、内分泌の生理やいわゆる人柄に関わるところであって、年を取ってから鍛えるのは難しい。また、「（珍妙な質問などの）お題に対して即座に的確な説明を構成する能力」は「算数が上手にできる能力」の在り方と関わってきます。というのは、もしその講師が「算数が上手にできる能力」を『高校数学は暗記だ』に従って伸ばしたのであれば、論証を扱う能力は「凡人」以下に留まっているということも多分にあり得るからです。

> 『高校数学は暗記だ』と根拠を交えて断言しているのも有名ですね。

「受験数学は暗記だ」という主張をときどき耳にします。試験問題を、暗記してある多くのパターンとマッチングして、マッチしたらあとは暗記してある通りに機械的に処理する、という方法を使うというものですね。実はこれ、古典的な人工知能で試みられていた手法でもあります。過去の質問をみると、このサイトでは結構な数の人たちがこの考えに反対していますが、しかし、暗記でもかなりの程度何とかなるのは当然でしょう。というのは、そもそも、高校数学はナミの高校生に教えるための教科であり、特別な才能がないと付いて行けないような難しいものである筈がありませんから。

> もう、十分ですよね？

ご質問は、学習上の疑問点と、憤りを誰かにぶちまけたいということ、これら２点から構成されており、最初の点についてはひとまず解決したものと思います。後者の点に関しては、どうやら、ぶちまけただけでなく、対立する意見を潰さねば気が済まない、ということのようです。しかし、そのための反論が論証として破綻していることは、上述の通りであり、従ってお説の論証はまだ十分ではありません。一方、寄せられた回答を眺めてみると、ご自身の憤りにほとんど無条件に賛同したり慰める意見も散見されますから、それで十分と満足なされば終わりなのですがね。

さて

> 以上の理由により、少なくとも高校数学においては才能は全く関係ありません。 > と、ここに断言しておきます。

この「断言」は、暗記式高校数学の方法論は成立つ、と仰っている訳ですが、ご質問の「y＞y」はその方法論を逸脱しているように思われます。なぜなら、一目で空集合になると分かるものをわざわざ代入操作によって導き出すような迂遠なパターンは、暗記式高校数学の暗記の目録にないと思われます。まして、操作の結果出てきたものが空集合だと認識できずに混乱するようでは、能率が悪くて確かに受験向きではありません。すると、ご質問の「y＞y」は、いわば暗記式高校数学における禁法に該当していると思われます。
　となると、講師が固まったりキレたりしたのは、「その講師こそは暗記式高校数学の方法論を信奉しそれを広める司祭の役をする人であって、暗記式を教えている生徒からパターンにない禁法を持ち出されて狼狽したからだ」という可能性もおおいに考えられるでしょう。この仮説は、講師がANo.12のようなごく簡単な話をなぜまともに教示できなかったか、ということをも説明します。（もちろん、そんなパターンはないから、です。）
　もしこの仮説が正しいなら、そしてもし質問者さんが暗記式高校数学の方法論を信じ従っていらっしゃるとすれば、するとこの事件は、生徒が教えられてもいない禁法を不用意に持ち出して講師の逆鱗に触れた、という、単なる「暗記式高校数学の方法論の信奉者」間での信仰上のトラブルとして要約できるでしょう。残るのは感情の話だけです。
　しかし、禁法を持ち出してしつこく説明を求めたという行動からすると、どうも質問者さんは「暗記式高校数学の方法論が成立つ」ことは認めつつも、それに必ずしも従おうとはしていないのではないかと思うのです。そして、そのことを悟ったために講師が「他の塾に行って他の先生に聞け！」と吠えたのだとすれば、この発言は「暗記式ではない高校数学を教えている塾に行け」という意味であり、この仮説の下では少なくとも内容としては誠に適切な助言だと言えましょう。もちろん、その言い方が酷い訳ですが、それは、暗記式高校数学の方法論の司祭にしてみれば、いつまで経ってもその教義に調伏されない異端の生徒を追い出したいからかも知れません。もしそうなら、ANo.12, 17に書いた話よりも問題の根は深くて、「もし質問者さんが「暗記式高校数学の方法論」におとなしく従う気がないのなら、その塾は今後も居心地の良い場所ではないだろう」ということなのかも。

> プライドをもつことを、よいとする方、悪いとする方、まさに百人百様の考え方ですね。

「プライドをもつことを、よいとする方、悪いとする方」などという単純な二分法や、あるいは「百人百様の考え方」などという相対主義的ごまかしで思考停止することには賛成しかねます。

stomachman · Answer

ANo.17の「補足」について。

そのご理解でおおむね良いと思います。

> 頭を固くせず構えておきます

というのは的を射たまとめですね。「変数を一時的にある値に固定して論を進める（定数とみなす）」、「既知の値を持っている定数をあえて未知数として扱う」、などということもあります。しかしどの場合も、集合の概念に戻って考えればすっきりします。なぜなら、高校まででやる数学は、すべて基礎に集合論があるからです。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

ANo.17の「お礼」について。
　学習上の疑問と感情の問題とをきちんと分けようという態度は、大変結構だと思います。リアルの方でも是非そうなさると良いでしょう。

> 先に、後半の内容に言及させて戴きます。

なるほど、そうなっちゃうとすると、こりゃ国語力の問題かもしれません。ANo.17にある、

>>「クビにならない方を優先する」ための合理的な方法は、「お客様である御生徒様に御機嫌良く御勉強して戴き、かつ、御生徒様の実力が及ぶ範囲で最も有名な学校に進学させて差し上げるよう努めること」でありましょう。
>> 一方、逆ギレするの（に限らず、あらゆる感情的・衝動的な行動）は、身の程知らずな生徒やアホな親からクレームが出たり、悪い評判が立つ危険性があり、従ってこの目的において明らかに不合理な行動です。

という部分ですが、まず、これらの文は明らかに対になっています。講師の立場でものを考えるとどうなるか、すなわち、現場との葛藤の末にクビを心配する羽目になった講師が、彼にとっての建前である塾の経営者からの要求と、赤提灯で漏らしそうな本音とを対比している。しかもその対比を、極端に丁寧な言葉遣いと極端な罵言とを並べることによって滑稽に誇張しています。修辞法の一種、カリカチュアですね。
　従って、この文章の作者（ってstomachmanですけど）が、これらの建前にも本音にも同意しておらず、さらには講師の葛藤や生徒との確執すらも滑稽がっているだろうということは、人並みの読解力があれば読み取れるでしょう。文章の最後には「下らぬ一時的感情」と、だめ押しまで付いています。
　なお、「身の程知らず」「アホ」は、文中の（つまり想像上の）講師の愚痴の言葉なのだから、言うまでもなく、質問者さんとその家族を指しているわけではありませんね。そればかりか、文中の講師の主観的言い分に過ぎないのだから、文中の生徒やその親が客観的にどうであるかまでは、ここだけ読んでも分かりません。

---------

次に内容の話です。もちろんお通いの塾が実際どうであるかは分からないけれども、「お客様である御生徒様…努めること」という部分の(表現はともかく)内容自体は、塾の経営者なら当然するであろう、合理的でごく一般的な要求です。そして、経営者の方針に従えない者はクビになってもおかしくない、ということもまた、ごく一般的な判断です。

> それだと、生徒個人の努力量や性格によってかなり左右されてしまいませんか？

だからこそ、講師は苦労するんでしょう。そして経営者も、たとえば、成績優秀な生徒をスカウトして無料で受講させることによって有名校進学率を上げる、などの工夫をしているのでしょうね。今はどうだか知りませんが、予備校が無料だった人、沢山知っていますよ。

> クビにすることが出来る主な理由は社会人としてルールを守れないことと、実力不足(=努力不足)だと思うんですが

「実力不足(=努力不足)」とおっしゃいますが、実力は才能にこそ大きく左右されます。また、才能による実力なのか努力による実力なのか、そんなことは評価には関係ありません。さらに、学習塾の講師としての実力のうち、「算数が上手にできる」という能力も確かに重要ではありますが、それ以外に重要なことがいくつもあります。では何が求められるのか。それは、その先生と数年後に飲みながら話してみると分かるかも。

> クビには出来ないはずです(できたとしても不公平)

クビに出来ない理由は、例えば、他にもっと客を呼べそうな講師が手配できないとか、何かの間違いで正社員にしてしまったとか、人に言えないシガラミがあるとか、ま、いろいろありえますが、不公平かどうかという事はまず考慮されないでしょう。クビにする理由の方はというと、少なくとも建前においては、たとえばクレームの数や脱落者数、有名校合格者数のような、明確な「データ」が物を言うでしょう。経営は厳しいもんなんですよ。

stomachman · Answer

まず、No.12の補足についてです。

> 代入は変数や定数の値を求めるときのみするもの

(1) 代入は、複数の集合の共通部分を知りたいときのひとつの方法なんですが、それで「値を求め」られると限った訳ではない。たとえば連立方程式
　　y = 2x+1
　　y = 2x+2
で代入をやってみると、解がないこと（解の集合が空集合であること）が証明できるし、別の連立方程式
　　y = x
　　y = x
で代入をやってみると、集合{(x,y)|y=x}全体が解であることが分かる。
　当然、「範囲を求む」という種類の問題の場合にも、（「値を求め」るのではなく、）「範囲を求め」て代入を利用できることがあります。逆に、複数の集合の共通部分を知りたくても代入という簡単な方法が使えない場合も、もちろん多々あります。

(2) 「変数や定数の値を求める」と仰っているけれども、どうも「未知数」と混同なっているんですかね。変数とは値がひとつに決まらないもの。だから「値を求める」のはお門違いで、知りうるのはただ、変数が動く範囲、すなわち集合だけです。
　繰り返しっぽくなりますが、おつきあい下さい。方程式
　　y = 2x+1
のx, yは変数であり、きちんと書けば
　　{(x,y) | y=2x+1}
という集合を表す式であって、(x,y)はこの集合の中を「動く」変数です。
　一方、連立方程式
　　y = 2x+1
　　y = x
とは、変数(x,y)が２本の方程式を両方満たす範囲、すなわち集合 {(x,y) | y=2x+1}∩{(x,y) | y = 2x+2}のことで、この集合を「連立方程式の解の集合」と呼ぶ。(x,y)はこの集合の中を「動く」変数ですが、この連立方程式の場合、解の集合はただ一つの点から成る集合{(-1,-1)}である。従って、たまたま、この連立方程式の解x,yは値が定まっている、つまり定数であるわけです。だが、その値はまだ知らない。値をまだ知らないからこれを「未知数」と言う。
　「方程式を解け」という試験問題の多くは、解の集合がただ一つの点、あるいはごく少数の点から成るもので、たとえば、方程式
　　x^2-1=0
の解の集合は{1, -1}である。答案に「x=1, -1」なんて書きますが、こんなもん式になっていないから、何かの省略記法であることはお分かりでしょう。そのココロは「ある定数をxに代入したら、x^2-1=0を満たすような、そういう定数にはナニとナニがあるか」ということであり、その「ある定数」は未知だから、未知数です。「x=1, -1」を正確に書けば
　　x∈{1, -1}
ですね。「xはこの集合の中を動く変数である」と読んでも良いし、「ある定数をxに代入したら、x^2-1=0を満たすような、そういう定数の集合が{1, -1}なのだ」と読んでも良い。同じ事です（し、実際、両方の解釈が必要とされます。というのは、たとえば、「x^2-1=0の解の一方をaとする…」と話が続くなら、aはどうしても定数であると解釈することになります）。
　しかし、上記の二次方程式に関して言うべきことは、実はそれだけではない。「この方程式を満たす変数xが動く範囲は丁度{1,-1}である」あるいは同じ事だけれども「この方程式を満たす未知数xは1であるか、-1であり、他にはない」ということを言いたいのですから、
　　∀x(x∈C → (x^2-1=0⇔x∈{1, -1}) )　　Cは複素数全体の集合
というのが本来の記述です。これを省略して「x^2-1=0の解はx∈{1,-1}」だとか「x^2-1=0の解はx=1, -1」と書いているのだ、ということを知っておくと良いと思います。

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

次に、No.12の「お礼」についてです。

> 僕は先生が生計をたてるためかわからないけど、僕に対して熱心に教えようとしてないんだな、クビにならない方を優先するんだなと悟りました。

その解釈は誤りでしょう。なぜなら、「クビにならない方を優先する」ための合理的な方法は、「お客様である御生徒様に御機嫌良く御勉強して戴き、かつ、御生徒様の実力が及ぶ範囲で最も有名な学校に進学させて差し上げるよう努めること」でありましょう。一方、逆ギレするの（に限らず、あらゆる感情的・衝動的な行動）は、身の程知らずな生徒やアホな親からクレームが出たり、悪い評判が立つ危険性があり、従ってこの目的において明らかに不合理な行動です。だから、仰る解釈は成立しません。このような明らかに誤った解釈を、質問者さんは断定している。つまり、質問者さんがキレてるということですね。
　高校数学が分からんようでは講師として実力が足りない訳ですが、それを容易に認めないのはプライドがあるからでしょう。「クビにならない方を優先する」ための少なくとも前半の要件を満たすには、プライドは邪魔でしかない。じゃあプライドはないほうがいいのかな？プライド抜きの先生が、本気で教えてくれると期待できますかね。また、先生が自ら研鑽して実力が上がるということが期待できますか。
　教師に対する生徒の態度は、本来「教えて戴くことに対して礼をする」という考え方であるはず。「とにかく金を払えばお客様。お客様は神様。ほら神様の馬鹿を早く治せ。おいこら神様に向かって何だその態度は」という拝金主義的な歪んだ認識が、双方の感情をこじらせているように思われます。しかしそんな確執は、たかだか塾に通っている間だけの一時的なこと。だから、下らぬ一時的感情と、ずっと後をひく学習上の疑問とは、完全に切り離すのが吉。

hitokotonusi · Answer

内容的にはこれまでの回答でもう十分なんですが，
少し難解な気もするので・・・蛇足を。

＞直線y=mx＋k

のｙと

＞不等式ｙ＞mx＋k

のｙは指してる内容が違います。
同じシンボルyに異なる意味を付与してるから混乱するんでしょうね。
ただ，よくあることなのできちんと理解しないといけませんが。

これを

y(直線上)=mx＋k

としておけば，

ｙ＞ｙ(直線上)

という代入はできますよ。
もう少し数学っぽくすると

y0(x)=mx＋k

として

y > y0(x) = mx+k

でしょうか。

statecollege · Answer

>先生が相変わらず分からないのをごまかすように説明し始めました。

>長々と付き合ってられないので、先生の説明に対して「分かりません」と先生にはっきり言いました。

と書いてあるだけで、先生がどういう説明をしたのか書いてありません。たとえば、＃１２（Stomachmanさんの回答）などはあなたの質問にたいする完璧な解答だと思いますが、かりにあなたの先生が＃１２のような回答をしたとしたら、ちゃんと理解できて、「分かりました」と答えることができたのでしょうか？あなたの一方的な告発だけでは、あなたの先生が本当に「・・・分からないのをごまかように説明」したのか、あるいはあなたが単に「あたまが悪くて」（？）先生の説明を理解できないだけなのか、私には判断できませんね。

windwald · Answer

＞ということは、方程式において、一つの同じ変数で表すことが必要となるのは、二つ以上の図形の交点を求める時のみなんですか？
式Fで表される図形と、式Gで表される図形の交点というのは、「式Fを満たすと同時に式Gを満たす」。
つまり交点の座標を求めるというのは、その両方の式を満たす「特別な場合」を求めるのと同じこと。

二元一次連立方程式を解くのもそういうこと。

potatorooms · Answer

う～ん。そのレベルの質問に回答できない先生ってどうなんだろう。でも、ご質問者さんのした質問も、方程式の本質が理解できていない子が良く間違える基本的な部分なので、学校の先生にでも聞いてみて、きちんと理解した方がいいですが。地頭のいい同級生に聞くのでもいいかと。

方程式は、定数と変数で成り立っています。定数は、代入で消していってもいいんですが、変数は、同じ変数だけで成り立つ式というのは成り立たないんです。
ご質問の結果得た式は、両方yだけで成り立っているので、両辺からyを引くと、０＞０　になるでしょ。両辺にどんな数を、どんな式を足してもいい式になっているので、方程式として成り立っていないんです。

方程式はさまざまなグラフでいうと曲線や直線、変数間の相関関係を表しているんです。その変数の片方を消してしまう時点で、相関関係を表さなくなります。
そのうえで、ご質問者さんの代入の仕方は、特定の２式の交点などの解も得られないので、意味がないんです。

昔はといっても昭和の時代ですが、小学校で習う鶴亀算やニュートン算などで出てくるんで、中学に上がる前に把握している部分なんです。変数と定数を区別できないダメな解き方のひとつです。ご質問者さんも、おそらく大学生のバイトなんじゃないかなと思うその塾の先生も、小学校の時期はまだ旧課程だったんで習っていないんですよね、きっと。今の子は気の毒ですとしか言えないかと。
鶴亀算やニュートン算で習うと、亀がいなくなったり、牧場が無くなったりするんで、感覚的に分かりやすく知ることができるんですが、そういう習い方をしていなんでしょ？

stomachman · Answer

「直線y=mx＋kをｌとする。」とは点(x,y)の集合
　　l = {(x,y) | y=mx＋k}  …(1)
は直線である、という意味。「不等式ｙ＞mx＋kの表す領域」（これをAとしましょう）とは点(x,y)の集合
　　A={(x,y) | ｙ＞mx＋k} …(2)
のこと。さて、「ｙをｍｘ＋ｋに代入」と仰るのは, おそらく、(1)のy=mx＋kを(2)のｙ＞mx＋kの右辺に代入する、という意味でしょうね。

ところで、「代入する」とはどういうことかというと、(1)の(x,y)と(2)の(x,y)が同じものであると考えるから同一視でき、同一視できるから一方を他方で置き換えられる。そういう仕組みです。この場合に同一視するということは、つまり、「y=mx＋kとｙ＞mx＋kとが両方成立つような点(x,y)の集合」を考えるのことを意味している。これを式で書けば、集合lと集合Aの共通部分
　　l∩A = {(x,y) | y=mx＋k かつ y＞mx＋k} = {(x,y) | y＞y}
だけを取り上げるということです。で、この場合には共通部分は空集合になっている。何もおかしい所はありませんね。

別の例と比較すると分かりやすいかも。例えば「y=xとy=2x+1の交点は?  」という問題に対して「y=xをy=2x+1に代入して～」とやるのは、「二つの式が両方成立つような点(x,y)の集合」すなわち共通部分
　　{(x,y) | y=x} ∩ {(x,y) | y=2x+1}  = {(x,y) | y=x かつ y=2x+1}  = {(x,y) | y=x かつ x=2x+1} 
を考えているということです。連立方程式を解くのは、そういう共通部分集合を求める、ということに他ならないのだから、代入という操作が役に立つ訳です。

そこで改めてご質問の問題を見てみると、誰も共通部分集合を求めたりしてませんから、代入の使いどころがありません。代入してもいいけど、それで？という状況なのです。
　ちうわけで、塾の講師に尋ねた質問は、「そもそも、代入できるかできないか、という話ではない」という点において的外れであったこと、さらに、「そういう代入を考えたってことは、さてはあなた、代入ってどういうことなのかがよく分かってないんじゃないの？」という話だってことも、お分かり戴けたでしょうか。

講師にしてみれば、代入の意味がよく分かっていないと思われる生徒の質問に答えようとすれば、上記のような説明をせざるを得ないのだけれども、説明を聞いている生徒の方は、なにしろよく分かっていないんだから、「何をごちゃごちゃ言ってるんだ。やいやい、一体、代入できるかできないか、ごまかしてないではっきりしろぃ！」と思うことでしょう。となると、意表を突かれてアドリブで説明しながら「あー、伝わってないなー」と焦る講師の気持ちも分かる気がするな。その上、分かってないくせに脇からあれこれ言う人がいようものなら、どんどん話がこじれていく。あーやだやだ。
　というわけで、ついでにアドバイス。理解した内容をきちんと塾の講師に伝えてですね、あの疑問はこういうことだったのだと理解しました、と報告することによって、「あくまでもこれは数学の学習上の疑問とその解決、ということであって、決して感情の問題なんかではない」という形で、はっきりと決着させるのが吉でしょう。

cisim_body · Answer

変な回答をしてしまったようだ。

＞　方程式は代入出来ないと考えていいんですか？

作業的にはできる。
しかし、「不等式ｙ＞mx＋kの表す領域」は、元の「直線y=mx＋k」を含んでいないから、代入後の式に不整合が生じるということ。

塾の先生がキレた質問 数学II

準備として、たとえば、連立1次方程式を考えてみましょう。

ANo.18のコメントについてです。

ANo.17の「補足」について。

まず、No.12の補足についてです。

この回答への補足

内容的にはこれまでの回答でもう十分なんですが，

>先生が相変わらず分からないのをごまかすように説明し始めました。

＞ということは、方程式において、一つの同じ変数で表すことが必要となるのは、二つ以上の図形の交点を求める時のみなんですか？

う～ん。

この回答への補足

「直線y=mx＋kをｌとする。

この回答への補足

変な回答をしてしまったようだ。

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