数学の集合の単元について

Question

今日、初めて集合を習いました。

塾の個人授業だったのですが

大学のスクーリングで論理数学の授業があるのですが
1mmもそのスクーリングで習う内容を習った事が無かったので(高卒認定取得で通信の大学に入ったので)
塾で習っています。

で、ネット塾なので、ウェブカメラを通しての授業のため、
使ったテキストとかも手元にはありません。

一応スクーリングで使うテキストも塾側に渡していたのですが
言葉的に難しい言葉を使っていたり、ちょっと偏屈な問題が多かったそうで
分かりやすいプリントを使って習いました。

で、習ったのですが分からなくなってしまったので質問します。
テキストが手元に無いので、復習できなくて・・・

一応ノートはきちんと取っていたのですが
説明されている時から分からない部分は別の紙に軽くメモを取っていただけだったので
見返したところ、思い出せなくなってしまいました。

空集合のところなのですが

ほんとに断片的にしか覚えていなくて質問にならないかもしれませんが

Aの集合とBの集合で全く重なり合っていないのが空集合で
φで表す。

で、その時に、空集合を重なり合わせる時はどうとかこうとか言われたのですが

その時点で？？？でした。
重なり合わせないのに、重なる？？？

って感じでちんぷんかんぷんでした。
どうとかこうとかの部分が分からなかったので、メモすら取れず
結果思い出せず・・・で

その部分だけ何を習ったのやらって感じなのですが

ここら辺を、本当に初心者の私に分かるように説明してください。

空集合は重ならないのに、なんで重なるのでしょうか？
(そこら辺、間の説明も忘れてしまったので、そこら辺も教えていただけると助かります)

後、φの読みはファイですか？(それとも数学的には読みが違うでしょうか？

後、以下はそれぞれどう読むのか教えてください(読み方まで教えてもらえなかったので)

１．A∪B
２．A“∪の逆さのやつ”B
３．A⊃B
４．A⊂B
５．A⊇B
６．A⊆B
７．A∈B
８．A∋B

後、7と8って横棒は飛びでないんですか？飛び出るものかと思ったのですが。

後、べき集合にφが含まれる事を分かりやすく説明してください。
先生に例を出していただいて、大まかには理解できたのですが、

A=｛a,b,c｝
P(A)=｛φ,(a),(b),(c),(b,c),(c,a),(a,b),(a,b,c)｝

イマイチ、全体的にφの意味合いもプカプカしてるのかもしれません。

本当に本当に初心者で、
集合とはこういう事、
補集合、
　　＿
A∪A＝U(ユー)
　　　　　　　　　　　　＿
A“∪の逆さのヤツ”A＝φ
とか習ったぐらいなので、簡単に、後、分かりやすい例なんかあると、すごく有り難いです。

下手な長文失礼しました。

Caper · Accepted Answer

● 集合に関する用語の中に「 レンズ 」というものがあるのかどうかということについて、私は断言できません。集合に関して、私は深く勉強したわけではありませんので。

私が集合を、つかの間、勉強してきました限りにおいて、「 レンズ 」という用語を私は目にしたことはありません。

● 岩波数学辞典 第 3 版 ( 1985年 12月 10日 ) を私は開いてみました。「 レンズ空間 」という項目を見つけましたので、私はざっと目を通してみました。私にとりましては、あまりにもむずかしい内容であり、理解することはできませんでした。

● ANo. 4 の添付画像は「 ベン図 」の一例です。ramu9999 さん がおっしゃいますように、「 ベン図 」を「 レンズ 」と ramu9999 さん は聞きまちがえたのではないかと、私は推測しました。

「 ベン図 」については、下記の Web ページ が参考になるかもしれません。
　 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%83%B3%E5%9B%B3
　 この Web ページ によれば、イギリスの数学者 ジョン ベン (= John Venn) に由来する用語のようです。

Caper · Answer

●「 空集合はレンズを書いても重ならないのに、重なると言われたんです・・・」と、ramu9999 さん はおっしゃいました。

●「 レンズ 」ではなく、「 ベン図 」ではないでしょうか。「 ベン図 」とは、例えば、下の添付画像に収まっている図のことです。

全体集合 U = {1, 2, 3, 4, 5}
　 全体集合 U の 部分集合A = {1, 4}
　 全体集合 U の 部分集合B = {2, 3, 4}
　 
● 先生がおっしゃりたかったこととは、「 ベン図 」の表現には限界があるということではないでしょうか … 。

下の「 ベン図 」では、A∩B は {4} ですから、A∩B は φ ではありません。もし、

A = {1, 4}
　 B = {2, 3}

であるならば、A∩B = φ であり、下の「 ベン図 」においては、「 集合A の範囲を示す円 」と「 集合B の範囲を示す円 」ははなればなれとなり、重ならなくなります。

もし、

A = {1, 4}
　 B = {1, 4}

であるならば、A = B であり、下の「 ベン図 」においては、「 集合A の範囲を示す円 」と「 集合B の範囲を示す円 」は、みごとに重なります。

● ところで、下の「 ベン図 」において、φ を表現してみることにします。「 全体集合U の範囲を示す長方形 」の中に 1つ の円を描き、円の中はからっぽとします。

φ∩φ = φ ですから、前述のとおり、2つ の「 φ の範囲を示すからっぽの円 」ははなればなれとなり、重ならなくなるはずです。
　 一方、φ = φ ですから、前述のとおり、2つ の「 φ の範囲を示すからっぽの円 」は、みごとに重なるはずです。

先生がおっしゃりたかったこととは、ベン図で、φ を「 からっぽの円 」として描くと、矛盾が生じるということではないでしょうか … 。

まちがっていましたら、ごめんなさい。

Caper · Answer

● ANo.1 における、添付画像に関する記述に、不適当な表現がありました。ごめんなさい。次のとおりに、改めます。

● LibreOffice Math というソフトウェアは、空集合に、ANo. 1 の添付画像内の左を割り当てているようです。LibreOffice Math というソフトウェアは、2つ あるギリシャ文字のファイ・小文字の内の 1つ に、ANo. 1 の添付画像内の右を割り当てているようです。

Caper · Answer

● ごめんなさい。「 重なる 」という言葉を用いて、空集合の説明を先生がなさったという件について触れるのを、私は忘れていました。

● どのような文脈で「 重なる 」という言葉を先生が口になさったのか … ?
　「 A∩B = φ のとき、集合A と 集合B とは重ならない 」とでも、先生はおっしゃったのでしょうか … ?

● 空集合とは、「 要素を 1つ も含まない集合 」のことです。

Caper · Answer

● 1) - 8) の読みかたについて

1) A∪B
　 A と B との 和集合 (= わしゅうごう )
　 A と B との 結び (= むすび )

2) A∩B
　 A と B との共通部分 (= きょうつうぶぶん )
　 A と B との交わり (= まじわり )

3) A ⊃ B
　 集合B は 集合A の 真部分集合 (= しんぶぶんしゅうごう ) である。

4) A ⊂ B
　 集合A は 集合B の 真部分集合 (= しんぶぶんしゅうごう ) である。

5) A ⊇ B
　 集合B は 集合A の 部分集合 (= ぶぶんしゅうごう ) である。
　 集合B は 集合A に 含まれる (= ふくまれる )。
　 集合A は 集合B を含む (= ふくむ )。

6) A ⊆ B
　 集合A は 集合B の 部分集合 (= ぶぶんしゅうごう ) である。
　 集合A は 集合B に 含まれる (= ふくまれる )。
　 集合B は 集合A を含む (= ふくむ )。

7) A ∈ B
　 A は 集合B の 要素 (= ようそ ) である。
　 A は 集合B の 元 (= げん ) である。
　 A は 集合B の 元素 (= げんそ ) である。
　 A は 集合B に 属する (= ぞくする )。
　 A は 集合B に 含まれる (= ふくまれる )。
　 集合B は A を 含む (= ふくむ )。

8) A ∋ B
　 B は 集合A の 要素 (= ようそ ) である。
　 B は 集合A の 元 (= げん ) である。
　 B は 集合A の 元素 (= げんそ ) である。
　 B は 集合A に 属する (= ぞくする )。
　 B は 集合A に 含まれる (= ふくまれる )。
　 集合A は B を 含む (= ふくむ )。

∋ のまん中の水平線は、弧から飛び出ないようです。∈ についても同様であると、私は思います。

3) 4) 5) 6) については、記号の使いかたにいくつかの流儀があります。ご注意ください。⊆ に部分集合を割り当て、⊂ に真部分集合を割り当てるとい流儀は、古いものかもしれません。
　 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8C%85%E5%90%AB%E9%96%A2%E4%BF%82
　 [ 記法に関する注意 ]内 に示される表を、参照してください。

● 空集合を表わす記号として、ギリシャ文字の φ (= ファイ ) を用いることの適否について、私は正確な知識を持っていません。
　 LibreOffice というソフトウェアには、数学の記号が収まっています。そのソフトウェアは、空集合に、下記の添付画像内の左を割り当てています。右は 2つ あるギリシャ文字のファイの内の 1つ です。
　 また、空集合を表わす記号として、数字の 0 が割り当てられることもあるそうです。

以下においては、とりあえず、空集合を φ で表わすことにします。

● A = {a, b, c} とするとき、A のべき集合を P(A) と表記するわけですよね。このとき、

P(A) = {φ, (a), (b), (c), (b, c), (c, a), (a, b), (a, b, c)}

と表記するのは正しくないと、私は思います。

P(A) =  {φ, {a}, {b}, {c}, {b, c}, {c, a}, {a, b}, {a, b, c}}

と表記するのが正しいと、私は思います。

● べき集合の説明に入る前に、命題と部分集合について、説明させてください。

S, T が命題であるとします。「 S ならば T 」も命題です。「 ならば 」を意味する記号として → を用いることにします。ですから、「 S ならば T 」 を S → T と表記することにします。

S が真であるときに、T も真であることが判明すれば、S → T という命題は真になります。加えて、S が偽であることが判明すれば、T の真偽に関係なく、S → T という命題は真になります。

集合X が 集合Y の部分集合であるとします。すなわち、X ⊆ Y であるとします。
　 X ⊆ Y とは、「 s が何であろうとも、(s は 集合X の要素である)→(s は 集合Y の要素である) という命題が真となる 」ということです。
　 すなわち、X ⊆ Y とは、「 s が何であろうとも (s ∈ X)→(s ∈ Y) という命題が真となる 」ということです。

いま、X に 空集合 φ を代入することにします。このとき、s が何であろうとも、下記の *) という命題が真となるかどうかについて考察してみましょう。

*) (s ∈ φ)→(s ∈ Y)

空集合の定義より、φ は 1つ も要素を持ちません。ですから、s が何であろうとも (s ∈ φ) という命題は偽となります。ですから、s が何であろうとも、前述のとおり、*) という命題は真となります。
　 ですから、空集合 φ は、集合Y の部分集合となります。すなわち、φ ⊆ Y となります。

そこで、*) において、Y にありとあらゆる集合を代入してみてください。Y がどんな集合であっても、「 s が何であろうとも、*) という命題が真となる 」ということに変わりはありません。
　 ですから、空集合 φ は、ありとあらゆる集合の部分集合であると言えるのです。

集合A の べき集合P(A) とは、「 集合A の部分集合をすべてかき集めた集合 」のことです。ですから、べき集合P(A) の要素はどれも集合です。( このような「 集合の集合 」には、集合系 もしくは 集合族 などの呼称があります。厳密には、集合系と集合族とは異なるようです )

べき集合の定義およびこれまでの記述により、空集合 φ はいかなるべき集合の要素となりえます。

● 私はそこつ者です。以上の記述の中にあやまりが含まれている可能性は高いです。まちがっていましたら、ひらにごめんなさい。
　 また、理解しづらい個所がございましたら、[ 補足 ]欄 を利用するなどして、遠慮なくお知らせください。

数学の集合の単元について

● 集合に関する用語の中に「 レンズ 」というものがあるのかどうかということについて、私は断言できません。

●「 空集合はレンズを書いても重ならないのに、重なると言われたんです・・・」と、ramu9999 さん はおっしゃいました。

● ANo.1 における、添付画像に関する記述に、不適当な表現がありました。

● ごめんなさい。

● 1) - 8) の読みかたについて

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