高一数学

２次方程式x²－４ｘ－１＝０の２つの解のうち、大きい方をｐとする。
（１）ｐの値を求めよ。
（２）ｑ＝１/ｐとする。ｑの分母を有理化し、簡単にせよ。また、（p-√３）（ｑ＋√３）の値を求めよ。
（３）（２）のｑに対して、（p-√３）³＋（ｑ＋√３）³の値を求めよ。
困っています。教えてください。

No.4 回答者： info22_ 回答日時： 2012/06/16 19:12

(1)

p=2+√5

(2)
q=1/p=√5 -2

(3)
公式A^3+B^3=(A+B)((A+B)^2-3AB)に
A=p-√3,B=q+√3,A+B=p+q=2√5,AB=pq+(p-q)√3-3=-2+4√3
を適用・代入する。

(p-√3)^3+(q+√3)^3
=(p+q)((p+q)^2-3(p-√3)(q+√3))
=(2√5)(20-3(-2+4√3))
=(2√5)(26-12√3)
=4(13√5 -6√15) or =52(√5)-24(√15)

No.2 回答者： gohtraw 回答日時： 2012/06/16 18:25

（１）

平方完成すると
（ｘ－２）＾２＝５
よりｘ＝２±√５
よってｐ＝２＋√５

（２）
ｑ＝１／（２＋√５）
　＝（２－√５）／（２＋√５）（２－√５）
　＝√５－２

（３）
因数分解の公式より
ｘ＾３＋ｙ＾３＝（ｘ＋ｙ）（ｘ＾２－ｘｙ＋ｙ＾２）
　　　　　　　＝（ｘ＋ｙ）（（ｘ＋ｙ）＾２ー３ｘｙ）
ｘ＝ｐ－√３、ｙ＝ｑ＋√３を代入すると
（ｐ＋ｑ）（（ｐ＋ｑ）＾２－３（ｐ－√３）（ｑ＋√３））
　　＝２√５＊（（２√５）＾２－３（ｐｑ＋√３（ｐ－ｑ）－３））
あとの計算はご自分で。ちなみにｐｑ＝５－４＝１、ｐ－ｑ＝４ですね。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。また宜しくお願いします。

お礼日時：2012/06/16 19:23

No.1 回答者： ulti-star 回答日時： 2012/06/16 18:21

x^2-4x-1=0

の解は

x=(4±√20)/2
x=2+√5,2-√5

√5=2.23……だから

大きいp=2+√5

q=1/p=1/(2+√5)

=1(2-√5)
―――――――
(2+√5)(2-√5)

=2-√5
――
4-5

=-2+√5

(p-√3)(q＋√3)
=pq+p√3-q√3-3
=(2+√5)(-2+√5)+(2+√5)√3-(-2+√5)√3-3
=5-4+2√3+√15+2√3+15-3
=-2+4√3+2√15


文字化けにより(3)は累乗を^2とすると

(p-√3)^2 + (q+√3)^2
=p^2-2p√3+3+q^2+2q√3+3
=(2+√5)^2-(2√3)(2+√5)+(-2+√5)^2+(2√3)(-2+√5)+6
=(4+5+4√5)-(4√3+2√15)+(4+5-4√5)+(-4√3+2√15)+6
=9+4√5-4√3-2√15+9-4√5+-4√3+2√15+6
=24-8√3