極限を求める

lim[x→0]1/{1+a^(1/x)} (a>0)
の極限を求める問題で、自分は
0<a<1 のとき 1
a=1 のとき 1/2
1<a のとき 0
だと思ったのですが、答えは
a=1 のとき 1/2
a≠1 のとき極限は存在しない
となってありました。
なぜa≠1のとき極限は存在しないのでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： paltaan 回答日時： 2012/06/28 23:16

xは実数として話をします。

結論から言うと、xを0に近づける近づけ方によって極限が異なるからです。

a>1とします。
[Case 1]
xを数直線上で正の方から0に近づけると、
(この近づけ方を x→+0 とか x→0+0 とかって書きます)

lim[x→+0]1/{1+a^(1/x)} = 0

[Case 2]
次は逆に、数直線上で負の方から0に近づけると、
(この近づけ方を x→-0 とか x→0-0 とかって書きます)

lim[x→-0]1/{1+a^(1/x)} = 1

よって、極限は存在しません。
(近づけ方によって極限が異なる場合は極限が存在するとは言えないのです。)

これが分かれば、0<a<1のときも極限は存在しないことが分かるはずです。