次の関数の特異点における留数を求めよ。
f(z) = (z^2 - 1)/{ (3z - 1)^2 }
まず、u=3z-1と変形しておきます。
本の答えは
f(z) = - 8/(81u^2) + 2/(27u) + 1/9 の -1次の項の係数より留数は2/27。
・・・となっています。
私の答えを上記の形式で書くと、
f(z) = - 8/(9u^2) + 2/(9u) + 1/9 の -1次の項の係数より留数は2/9。
・・・になります。
私は、
z^2 - 1 = a(3z-1)^2 + b(3z-1) + c
で連立方程式を立てて、結果が
a = 1/9
b = 2/9
c = -8/9
になりました。
関数電卓で解いてもそうなります(式の立て方自体が間違えてるかもしれませんけど)。
本と私のどちらが合っているのでしょうか?どうかお願いします。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
> u=3z-1
としたとき、
> f(z) = -(8/9)/(u^2)+(2/9)/u+(1/9)
という計算は合ってます。なお、その計算をするには、何も「連立方程式」(そんなもんご質問のどこにも出てきてないようですが?)なんか使わなくたって、単に
u=3z-1
をzについて解いた
z = (u+1)/3
を
f(z) = (z^2 - 1)/(u^2)
の分子に代入して展開するだけ。
しかし、ここまでは重要ではない。(え?これで終わりなんじゃないの?と思ったでしょ。)
本題は留数の計算です。f(z)の特異点は
z = 1/3
であり、従って(z - 1/3)のまわりでf(z)をローラン展開した時の-1次の係数が留数である。
すなわち、
> u=3z-1
じゃなく
v = z - 1/3
を使って展開しなくちゃ留数は出ませんね。もちろん、
u = 3v
であるから、既に計算してある「中間結果」を利用して
f(z) = -(8/9)/(u^2)+(2/9)/u+(1/9)
= -(8/9)/((3v)^2)+(2/9)/(3v)+(1/9)
= -(8/81)/(v^2)+(2/27)/v+(1/9)
とやればいい。
かくて、留数は(2/27)です。
ありがとうございます。
> 単に
> u=3z-1
>をzについて解いた
> z = (u+1)/3
>を
> f(z) = (z^2 - 1)/(u^2)
>の分子に代入して展開するだけ。
なるほど、そうやって解けばよかったんですか。随分、楽ですね。
実はその方法も質問したかったんですけど、とりあえず連立方程式で解けていたので、ずっと放置していました(かなり面倒くさい解き方ですけど)。
>f(z)の特異点は
> z = 1/3
>であり、従って(z - 1/3)のまわりでf(z)をローラン展開した時の-1次の係数が留数である。
あああーっ、そうですね。それで、
3z-1 = 3(z -1/3)
と3で括ったんですね。
私の答えが正解だと思っていたので悔しいです。もっと勉強します。
ありがとうございました!
No.3
- 回答日時:
stomachman さんの二番煎じですが...
本の答えの u と libre さんの計算の u とは違うもののようです.
本の u は u = z-1/3 のようですし,
libre さんの u は u = 3z-1 ですね.
libre さんの u = 3z-1 は複素平面のスケール変換(3倍した)と
平行移動(-1)とをやったことになっています.
スケール変換はその変換率だけ留数の値が変化します.
ですから,変換した変数の表示で留数を求めてそのままではいけません.
> 私の答えを上記の形式で書くと、
>
> f(z) = - 8/(9u^2) + 2/(9u) + 1/9 の -1次の項の係数より留数は2/9。
>
> ・・・になります。
のところで,2/(9u) の項から留数 2/9 としていますよね.
じゃあ,9u = w とおくと,この項は 2/w だから留数は2か?
そんなことしませんよね.
u を元に戻すと,この項は 2/{9(3z-1)} = (2/27)/(z-1/3)で,
めでたく留数は 2/27 です.
No.1
- 回答日時:
(z^2 - 1)/(3z - 1)^2 = A/(3z - 1)^2 + B/(3z - 1) + C …(*)
略式の試算でも…。
まず (*) の両辺にて z → ∞ とし、
1/9 = C
(*) へ代入。
(z^2 - 1)/(3z - 1)^2 - 1/9 = (2z/3 - 10/9)/(3z - 1)^2
(2z/3 - 10/9)/(3z - 1)^2 = A/(3z - 1)^2 + B/(3z - 1) …(**)
(**) の両辺に (3z - 1)^2 をかけて z → 1/3 とし、
2/9 - 10/9 = -8/9 = A
(*) へ代入。
(2z/3 - 10/9)/(3z - 1)^2 + (8/9)/(3z - 1)^2 = B/(3z - 1) …(***)
左辺の勘定。
(2z/3 - 2/9)/(3z - 1)^2 = (2/9)(3z - 1)/(3z - 1)^2 = (2/9)/(3z - 1)
つまり、B = 2/9 らしい。
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