高校 数学 円の性質 三角形と比 の問題

高校　数学　円の性質　三角形と比　の問題

ニ十分ほど考えていますが、以下の二題が全く分かりません。入試とか模試の問題だと思います。わかる方御解答の方よろしくお願いします。

□１
図のようなBA=BCの二等辺三角形ABCと点Cを通り点Bで直線ABに接する円Oがある。また、円Oと辺ACとの交点のうちCでない方の点をDとするとき、AD=４,CD=5である。

（１）辺ABの長さを求めよ。

（２）線分BDの長さを求めよ。また、直線BCと△ADBの外接円O'との交点のうち、Bでない方の点をEとするとき、線分BEの長さを求めよ。

（３）（２）のとき、線分AEの長さを求めよ。また、線分ABと線分DEの交点をFとするとき、△BEFの面積を求めよ。

□２
AB＝８、AC=6、角A＝９０°である直角三角形ABCがある。角ACBの二等分線と、辺ABの交点をP,直線CPと△ABCの外接円の交点のうち点Cでない方の点をQとする。

（１）線分AFの長さを求めよ。

（２）線分CPの長さを求めよ。また、線分PQの長さを求めよ。

（３）△ABCの内心をIとするとき、線分PIの長さを求めよ。また辺BCの中点をM,△AQIの重心をGとするとき、線分GMの長さを求めよ。

一気に質問してすみません。数学はかなり厳しい状況なので、よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： sanmatotama 回答日時： 2012/08/31 14:15

２です。

(1)は「線分APの長さを求めよ」だとして解きました。
(1)角の２等分線の定理よりAP:BP=AC:BCなので
AP:BP=3:5,よってAP=3/8AB=3
(2)３平方の定理よりCP=√(AP２乗+AC２乗)=√(9+36)=3√5
また、△PBQと△PCAにおいて
対頂角は等しいので∠BPQ=∠CPA,同じ弦に対する円周角は等しいので∠PQB=∠PAC
２組の角が等しいので△PBQ∽△PCA
よってPQ:PA=PB:PCよりPQ:3=5:3√5だから
3√(5)PQ=15,ゆえにPQ=√5
(3)内心と頂点を結ぶ線は角の２等分線になるので、
CI:PI=CB:PB=2:1
よってPI=1/3CP=√5
点Mは直線AGとBCの交点かつ△ABCの外接円の中心だからAM=5,AG:GM=2:1
よってGM=1/3AM=5/3

この回答へのお礼

お礼が遅れて申し訳ないです。有難う御座いました。大変助かりました。

お礼日時：2012/09/06 20:42

No.1 回答者： sanmatotama 回答日時： 2012/08/31 11:34

とりあえず１だけ解答しますね（計算ミスがあるかもしれませんが）

(1)方べきの定理より、AD・AC=AB２乗なのでAB=√36=6
(2)ACの中点をGとするとGD=5-(4+5)/2=0.5
BGC=90°なので△BGCについて３平方の定理を適用して、BG=√(BC２乗-GC２乗)=√(36-81/4)=√(63/4)
よって、△BGDについて３平方の定理を適用して、BD=√(1/4+63/4)=4
方べきの定理よりCD・CA=CB・CEだから45=6・(6+BE)でBE=7.5-6=1.5
(3)AD=BDよりABは円O'の直径となる。よって直径に対する円周角は90°だから
∠AEB=90° よって３平方の定理よりAF=√(AB２乗-BE２乗)=√(36-9/4)=√(135/4)=(3/2)*√15
また,△ADFと△EBFについて
共通の弦に対する円周角は等しいので、∠ADF=∠EBF,∠DAF=∠BEFとなり２組の角が等しいので△ADF∽△EBF
AD:EB=AF:BFよりAF:BF=4:1.5=16:5,よってBF=5/21AB
ここで△BEFと△BEAに着目すると、底辺をそれぞれBF,BAととれば、面積を求める際の高さが等しくなるため、
△BEFの面積は△BEAの面積のBF/BA倍、すなわち5/21倍である。
△BEAの面積は1.5*(3/2)*√(15)/2=(4.5/4)√15なので、
△BEFの面積は5/21*(4.5/4)*√15=(45/168)√15=(15/56)√15

２の(1)が線分AFとなっていますが、AQでしょうか？それともAPでしょうか？

この回答へのお礼

お礼が遅れてすみません。数学の講習の問題で苦労していたところ助かりました、ありがとうございました。またよろしくお願いします。

お礼日時：2012/09/06 20:43