統計学の問題の解き方について教えてください

大学で統計学を学んでいる者です。
以下の問題の解き方が分かりません。どなたかお教え頂けないでしょうか?
やはりこういった各得点が分からず、平均点が変化した場合の標準偏差
を求める問題が特に苦手で、この問題も考えても分かりませんでしたので、
何卒お願いします。

20名の学生に対する試験(100点満点)を採点したところ、その平均値が60点、標準偏差が8.5点と計算された。しかし、採点された答案を見直したところ、1名のデータのミスが見つかり、実際は65点であるのに85点として記録集計されたことが分かった。
(1)正しい平均値と標準偏差を求めなさい。
(2)正しい平均値に対する95%信頼区間を求めなさい。

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/09/10 12:20

平均はそれで OK.

標準偏差 (というか分散) はぶっちゃけ「どう計算すればいいか」というだけの勝負. 各人の「見直す前」の成績を x_i とすると
(1/20)Σx_i = 60,
(1/19)Σ(x_i-60)^2 = 8.5^2 (ここ, 2乗を忘れてますよ. あと, 最後に挙げておく点にも注意)
なんだけど, 後者の式で 2乗を展開すると Σx_i^2 の値が求まります. で, 「実際は65点であるのに85点として記録集計された」ということは, この Σx_i^2 が実際には (85^2-65^2) だけ小さくないといけないということになる. ここから逆に (平均が変化することも考慮に入れて) 計算すれば修正後の分散が求まる (→そこから標準偏差も得られる) わけです.

ところで, 分散の式はなんで分母を 19 にしてるんでしょうか? 母集団から選んだ標本の値を使って母集団の分散を推定するためには確かに不偏分散を使わないといけないんだけど, この問題の通りであれば「20名の学生」が母集団で, その値 (成績) はすべてわかっているんだから不偏分散を使う理由はない (むしろ使ってはいけない) はずです. ここのところがさっぱりわからないので, #2 で「(2) は問題がおかしいと思う」と書いたんだよね....

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/09/10 00:45

何をどう考えた? どこで困った?

しかし (2) は問題がおかしいと思う. 「信頼区間」がどうして必要なのかがさっぱりわからん.

この回答への補足

書き込みありがとうございます。

現在の状況は(1)の平均値については分かるという状況です。
行った方法は以下です。

合計数が分からないので合計数をxとして人数を20、平均値が60となるよう式にあてはめると、
x/20=60 となり、x=1200
となる。ここから、間違っている85-65=20を1200から引くと、1180となる。
1180/20をして、正しい平均値59を求められる。

(1)の標準偏差についての問題は、以下のところまでしか分かりませんでした。計算が大変なので、分散として計算すると、
(1/19)Σ(1→20)(xi-60)=72.25
Σ(1→20)(xi-60)=1372.75
となる。
ただ、平均値が59となった場合にはどうするかが分かりません。

以上の状況なのですが、お答えお願いします。
なお、統計検定についても目を通しましたが、似たような例題は今のところ見かけないです。よく出される問題は普通に平均値と標準偏差を求める問題なので。

補足日時：2012/09/10 09:23

No.1 回答者： obrigadissimo 回答日時： 2012/09/10 00:40

例題がある筈ですので

整理しながら読み込んでみてください。

問題としては難しくありません。
質問者さまはもしかしたら
ゆとり教育世代なのかもしれませんな。
依存性が身に着いてしまうと、
一生、危ういですよ。

この回答への補足

書き込みありがとうございます。
例題ですが、統計検定の過去問についても目を通したのですが、今のところ見かけないです。
よく出される問題は普通に平均値と標準偏差を求める問題なので、こちらしかどの問題集にも、試験にも出てないようです。

なので、五里霧中の状態です。なにか教えて頂けると幸いです。

補足日時：2012/09/10 09:33