教えてください！半正定値を求める問題

2*2の正方行列Cの成分a1,a2, a3, a4がそれぞれ1としたとき、
（web上での行列式の書き方がわからず、このような書き方をしています）

正定値か半正定値かそれ以外（負定値）かを求める問題で解き方で行き詰っています。

答えは、半正定値とだけはわかっています。

まず、二次形式をつくるために、ベクトルxを用意して、そのベクトルの成分x1, x2の値の
場合分けをしているのですが、どうしてもすべての場合において、
xの転置 * C * x
の値が0より上となってしまいます。
おそらく、私の計算の仕方に問題があるのでしょうが、
よくわかりません。

もし、親切な方がいらっしゃれば、途中計算を示していただけないでしょうか？
どうかお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： ereserve67 回答日時： 2012/10/26 22:35

Cをすべての成分が1の2次正方行列として，2次元ベクトル

X=(x1 x1)^T

に対して，

CX=(x1+x2 x1+x2)

ですから，

X^TCX=x1(x1+x2)+x2(x1+x2)=(x1+x2)^2≧0

となります．あるX≠(0 0)^Tに対しこの等号が成立するなら半正定値ですね．例えばx1=1,x2=-1がありますよ．

この回答へのお礼

わかりやすい説明大変ありがとうございます！
実を言うと、
X^TCX=x1(x1+x2)+x2(x1+x2)=(x1+x2)^2≧0　
までは合っていたようなのですが、ここがどうして半正定値かがわかりませんでした。
例を挙げていただいたおかげで、理解することができました！

お礼日時：2012/10/27 11:11

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/10/26 23:23

「どうしてもすべての場合において、

xの転置 * C * x
の値が0より上となってしまいます。」
って, どういうことなんでしょうか?

「正定値か半正定値かそれ以外（負定値）か」が変なことはわかりますか?

この回答へのお礼

すみません、まだ習ったばかりということもあり、深く理解していないようで、Tacosanの質問についてどこが変かわかりません・・・

お礼日時：2012/10/27 11:04