三角形を内分する直線

問題：△ABCの辺AB、ACをそれぞれ1:3に内分する点を、それぞれR,Qとする。線分BQとCRの交点をOとし、直線AOと辺BCの交点をPとする。
(1)BP:PCを求めよ
(2)面積比△OBC：△ABCを求めよ。

答えを見ましたが、解説もなく理解できませんでした。
解説してくださる方いましたら宜しくお願いします。

No.1 回答者： gohtraw 回答日時： 2012/11/12 19:40

ベクトル記号は省略します。

ＡＯをＡＢとＡＣで表わします（二通りあります）。このとき、ＯＲ：ＯＣ＝ｓ：１－ｓ、ＯＱ：ＯＢ＝ｔ：１－ｔ　とします。

ＡＯ＝ｔ・ＡＢ＋（１－ｔ）ＡＱ
　　＝ｔ・ＡＢ＋（１－ｔ）ＡＣ／４　・・・（あ）

ＡＯ＝（１－ｓ）ＡＲ＋ｓ・ＡＣ
　　＝（１－ｓ）ＡＢ／４＋ｓ・ＡＣ　・・・（い）

（あ）と（い）の係数を比較すると
ｔ＝（１－ｓ）／４
ｓ＝（１－ｔ）／４
この連立方程式を解くとｓ＝ｔ＝１／５

よってＡＯ＝ＡＢ／５＋ＡＣ／５　・・・（う）

ここでＡＰはＡＯの実数倍で表わされるので、実数ｕを用いて
　ＡＰ＝ｕ・ＡＢ／５＋ｕ・ＡＣ／５
これよりＢＰ：ＰＣ＝１　（上式でＡＢとＡｃの係数が等しいから）

ＢＰ＝ＰＣであることから
ＡＰ＝（ＡＢ＋ＡＣ）／２　・・・（え）
（う）と（え）より、ＡＰの長さはＰＯの長さの５／３倍なので、面積比△OBC：△ABＣ＝３：５