中点連結定理

△ABCの辺BC.CA.ABの中点をそれぞれD.E.Fとするとき△DEF∽△ABCとなります。
△DEFと△ABCの相似比を求めなさい。
また△ABCの面積が8平方センチのとき△DEFの面積を求めなさい。



わからないので教えて下さい!!

No.1 回答者： fushigichan 回答日時： 2012/11/27 20:14

こんにちは！

中点連結定理ですね。

まず△ＡＦＥと△ＡＢＣにおいて
中点連結定理により、

ＦＥ＝１/２ＢＣ
ＦＥ//ＢＣ

が成り立ちます。
ＡＦ＝１/２ＡＢ
ＡＥ＝１/２ＡＣですから△ＡＦＥ∽△ＡＢＣとなり
その相似比は、１：２になりますよね。

面積比は、相似比の２乗ですから、
△ＡＦＥ：△ＡＢＣ=1:4

同様にして、今度は点Ｂを頂点にして考えてみましょう。

△ＢＤＦ∽△ＢＣＡより、△ＢＦＦ=１/４△ＡＢＣ


また同様にして、△ＣＤＥ＝１/４△ＡＢＣ

となるので、まわりの３つの三角形をどけた残った部分が△ＣＥＦですから

１－１/４－１/４－１/４＝１/４


となるので、
△ＤＥＦ：△ＡＢＣ=1:4となります。

△ＡＢＣ＝８平方センチでしたら、△ＤＥＦ=２平方センチになります＾＾