光の干渉問題 の質問

東大　９４年の問題なのですが、
図は描けないので　概要をいうと

よく光の干渉問題で　出て来る回折格子がありますよね。
回折格子は　同一の十分せまい幅W_1の多数の
平行スリットから構成されています。
隣り合ったスリットの間隔はｄです。
波長γの平行なレーザー光線を垂直に入射させます。

回折格子AからLはなれたスクリーンBに
明暗の縞が観測されて
中心に観測された明線をm_0として
その両側に対称にあらわれる明線を
内側からm_1,m_2・・・とします。

そこで　問題なのですが
回折格子上の隣あうスリット間の中心線上に
幅W_2を持つスリットをあらたに付け加え
レーザー光線を同様にあてる実験をすると
どうなるか？　とういうものなのですが、

m_1.m_3,・・・の奇数の時は
隣あう光路差がγ/２になるので
明線が消失する　というのはわかります。
m_2,m_4・・・の時は
逆に強めあうのも　わかるのですが
明るさが
振幅をAとすると
（A+A）＾２/A＾２＝４倍になるとありました。
光の明るさが　振幅の２乗に比例するのは
常識なのですが
なぜ　この場合４倍になるのかわかりません。
この場合も合成波の振幅は変化せず
明るさは　変わらないと思うのです。

　４倍になる理由を　どうか教えて下さいm(._.*)mペコッ

No.2 ベストアンサー 回答者： noname#11476 回答日時： 2004/02/23 10:18

うーん。

あまりよい問題ではないような、、、まあいいでしょう。

初め、ｍ１，ｍ２，ｍ３，ｍ４．．．と回折光がありますね。
ここで、スリットｗ２を入れるということは、つまり回折格子のピッチを２倍にすることなので、
ｍ２，ｍ４．．．．
と要するに、ｍ１，ｍ３．．．の奇数時の光はなくなります。

では、その光はどこに言ってしまったのでしょう？

実は干渉で打ち消しあうということは、そのエネルギーは強め合っているところに移動するのです。
だからトータルのエネルギーは変わることはないのです。
そうすると、ｍ１，ｍ３．．．の奇数次のエネルギーはｍ２，ｍ４にうつるのでエネルギーは２倍になります。

おや、まだ２倍ですね。実はもうひとつ考えねばならないことがあります。
スリットの数は２倍ということは単純に光が通る光量も（Ｗ１，Ｗ２が同じであれば）２倍になるはずです。

つまり結局生き残っているｍ２，ｍ４の光量は元の４倍になっていなければおかしいのです。

ただ問題ではＷ１とＷ２の大きさについては言及していないようなので、ちょっと？なのですが。

この回答へのお礼

わかりました。
みなさまありがとうございましたm(._.*)mペコッ

お礼日時：2004/03/04 21:50

No.5 回答者： Teleskope 回答日時： 2004/02/23 22:36

おっと失礼、

（誤）　=A・(1-ε(imNΦ))/(1-ε(imΦ))

（正）　=A・(1-ε(iNΦ))/(1-ε(iΦ))

No.4 回答者： Teleskope 回答日時： 2004/02/23 22:23

回折格子のスリット数をＮとすると、スリットを通過した光は、間隔ｄで並んでいるＮ個の点光源のようになる。

個々の振幅をAとすると中心からθ方向のスクリーン上での振幅(複素)は（Φ=2πd/λ・sinθとして）単純な線形加算ゆえ
　E(θ)=Σ[m=0,N-1]Aε(imΦ)　
である。iは虚数単位。等比数列の公式よりただちに
　　　　=A・(1-ε(imNΦ))/(1-ε(imΦ))
　　　　=A・sinN(Φ/2)/sin(Φ/2)・ε(i(N-1)Φ/2)
上式は振幅項×振動項ゆえ
　|E(θ)|=A・|sinN(Φ/2)/sin(Φ/2)|
強度=振幅の2乗
　Ｉ(θ)=|E(θ)|^2
　　　　=A^2・|sinN(Φ/2)/sin(Φ/2)|^2
Φ/2→0での極限は、sinx/x→1から
　　　　→ A^2・N^2
よって
スリットの個数Nの2乗に比例する。スリット数が２倍になれば強度は４倍。
以上、数式で書いたが、窓(スリット)の数が２倍に増えたのなら室内の光量は２倍になる。ならないと考える方がおかしいと思うぞ。

<#>初学者は普通、振幅の2乗=強度　を物理的に理解する所でひっかかると思うが、そこを理解できてるのは立派。</#>

No.3 回答者： noname#11476 回答日時： 2004/02/23 11:27

補足：

ご質問で書かれている式が出てくる考え方についても説明しておきますね。

スリットＷ１群で作られる干渉縞の振幅がＡとします。
スリットＷ２群だけでも振幅はＡになりますね。

そして「追加してスリットＷ２」を開けたのですから、振幅Ａの光同士が干渉して新たに干渉縞が出来たとすると、
（Ａ＋Ａ）＾２／Ａ＾２＝４Ａ

という考え方が出てきます。

No.1 回答者： thetas 回答日時： 2004/02/23 03:19

>この場合も合成波の振幅は変化せず

>明るさは　変わらないと思うのです。

という部分が、違っていると思います。

光波が「強め合っている」ので、明るさは増しています。
それは、一つめのスリットでの振幅Ａの２つの光が強め合っているのですから、合成波の振幅は２Ａになるからです。

この回答への補足

ここでの振幅が２倍になる　というのは
「合成してない元の波の振幅」にたいして２倍ではなく
「W_2をいれる前のW_1のみの時　強めあっている
合成波の振幅」　
　にたいして２倍　という意味です。

W_2をいれた後は　合成波の振幅は２A
W_2をいれる前も　合成波の振幅は２A

　よって２A/２A＝１倍　と考えたのです。

　この考え　どこが間違っているのでしょうか？
　回答　よろしくおねがいしますm(._.*)mペコッ

補足日時：2004/02/23 09:58