複素数平面の問題です

「a,b は複素数平面上の異なる２点とする。aは正の実数で、aとbを結ぶ線分の
長さは１であり、０および－iは aとbを結ぶ線分上にない。z がこの線分上を動くと
き、w=(z-i)/(z+i)も長さ１の線分を描く。このような aとbを求めよ。」

zに aと bと その間の数 a+t(b-a) ；tは０～１
を代入して直線上に来る条件を求めようとしましたが
無解になりました。
解ける人がいましたらお願いします

No.7 ベストアンサー 回答者： mnakauye 回答日時： 2013/01/06 11:52

No.5 です。

　答えは、解なしですね。

　　反転　ｗ２＝１／ｗ１　で、　ｗ１＝ｘ＋ｉｙ、　ｗ２＝u(x,y)+iv(x,y) x,y は実数、　u,v　は実関数

　　とすれば、方程式

　　a(x^2+y^2)+bx+cy+d=0 a.b.c.d は実数・・・・・・・・・(1)

　　が表す　円　（a=0のときは、直線）は、


　　u=x/(x^2+y^2), v=(-y)/(x^2+y~2) だから、　x、yについて解き、上の円の式に代入すれば、

　　d(u~2+v~2)＋ｂｕ－ｃｖ+a＝０　・・・・・・・(2)

　　に変換されます。

　　ここで、線分が線分に変換されるためには、上の式(1)で　a=0、下の式(2)で　d=0　でなければならないことから、

　もとの式(1)の直線は、ｂｘ＋ｃｙ＝０　つまり原点を通るものになります。

　　すると、w=(z-i)/(z+i)　を合成変換に置き換えた式（前述、下の図　右）

　　のうち、最初の、w1=z+i　で、線分z1z2（下の図　赤色）を平行移動した線分（下の図　緑色）は、

　　反転　w2=1/w1　で、直線に移るためには、緑の直線が原点を通ることになり、

　　これは、もとの線分（赤色）が、－ｉ　をとることになってしまいます。

　よって、解なし。

　以上です。

この回答へのお礼

私もその結論に至りました。
やっぱり無解ですね

お礼日時：2013/01/07 10:48

No.8 回答者： 178-tall 回答日時： 2013/01/06 14:43

>線分って直線片にしか使わない気がします＞＜

ふつうはそうです。

けど、もとの問題に「０および－iは aとbを結ぶ線分上にない」とあるようで、あとは円弧しかなさそうですけど…。

　　

この回答へのお礼

問題がおかしいんでしょうかね
普通答えが出せるように設定するものですが

お礼日時：2013/01/07 10:50

No.6 回答者： 178-tall 回答日時： 2013/01/06 08:48

>答えは無根でよかったのか。

。。

w=(z-i)/(z+i) の描く線分を直線に限定すれば、のハナシです。

円弧片だとすれば、解がありそう。

　　

この回答へのお礼

線分って直線片にしか使わない気がします＞＜

お礼日時：2013/01/06 10:48

No.5 回答者： mnakauye 回答日時： 2013/01/06 01:11

　こんばんは、

　与えられた変換、ｗ＝（ｚーｉ）／（ｚ＋ｉ）　は、変形すると、

　ｗ＝１＋（－２ｉ）／（ｚ＋ｉ　）　となります。

　　この変換は、　ｗ１＝ｚ＋１　（平行移動）　とおけば、　ｗ＝１＋（－２ｉ）／ｗ１　となり

　　　　　　　　　　　ｗ２＝１／ｗ１　（反転）　とおけば、Ｗ＝１＋（－２１）ｗ２　となり、

　　　　　　　　　　　ｗ３＝２・（－ｉ）ｗ２　（　－ｉ　でマイナス９０度の回転と２倍の相似拡大）　とおけば、

　　　　　　　　　　　ｗ＝１＋ｗ３　となり　これは平行移動。


　　したがって、一端ｚ１がｘ軸にあって、もう一方のはしｚ２が　ｚ１中心の円上にある線分Ｚ１Ｚ２が、

　　平行移動後の線分を、反転した上で、-９０度回転され２倍に拡大され、平行移動されるということになります。

　この変換の中で、直線を維持しない可能性があるのは、ｗ２＝１／ｗ１の反転だけです。

　（反転は、直線を半径無限大の円と考えると、円は円に写す。）

　　したがって、ｚ１ｚ２を　＋ｉ　だけ平行移動した　線分が、

　　ｗ２＝１／ｗ１　（反転）　によって、円ではなく、直線になることの条件を探せば良いことになります。

　　　与えられた条件から、ｚ１＝ａ、　ｚ２＝c+di 　　　　a,c,d は実数　とおいて、

　　　ｚ１＋ｉ 　と　ｚ２＋ｉ　つまりは　２点　a+i と c+(d+1)i の（ｘ、ｙ）に関する直線の式　　　　　（ただし　z=x+ｉｙ　x,y実数）

　　　をもとめ、反転　Ｗ２＝１／ｗ１ つまりは　ｗ２＝１／（ｘ＋ｉｙ）＝x/(x^2+y^2)+i(-y)/(x^2+y^2)

で、この式がどうなるか・・・・・・（変換すると2次式なので）2次の係数が０になって一次式（直線）になるようにする。

　これが中心ポイントで、

　　ｗ２＝ｕ＋ｉｖ　　　ｕ，ｖ　は実数　とすれば、

　u=x/(x^2+y^2), v=(-y)/(x^2+y~2) なので　ｘ、ｙ　でといて、

　　x=u/(u^2+v^2), y=(-v)/(u^2+v^2)

これを先ほどもとめた

　　　　２点　a+i と c+(d+1)i の（ｘ、ｙ）に関する直線の式　

　　に代入すればよい。
　　
　　あとはZ1Z2が　０　および　-i を通らないための、ａ，ｃ，ｄ　の条件　と、

　　変換後のｆ（ｚ１）ｆ（ｚ２）の長さが１になるように　ａ，ｃ，ｄ　を決めていけばよい。　

この回答へのお礼

直線の一般形sx+ty+u=0を
x→x/r^2
y→-y/r^2
で変換すると
u=0でない限り２次式になるんですよねえ
つまりa+i,b+iが原点を通る直線上にあればいいんですが、
「-i を通らない」という条件のせいでそれも駄目orz
やっぱり無解ですね

お礼日時：2013/01/06 10:39

No.4 回答者： 178-tall 回答日時： 2013/01/05 18:37

やりかけてビックリ。

>直線上に来る条件を求めようとしましたが 無解になりました。

が正解らしい。

>０および－iは aとbを結ぶ線分上にない。
…のだとすると、

>w=(z-i)/(z+i) も長さ１の線分を描く。
…の「線分」は直線にならないようだ。

　　

この回答へのお礼

え、やっぱり無解ですか？
これ、近所にある塾の講師採用試験にあった問題なんですよね。
自宅で解いて郵送するように言われたんですが、
何度やっても解けなかったので送らなかったんですよ。
答えは無根でよかったのか。。。

お礼日時：2013/01/06 02:16

No.3 回答者： 178-tall 回答日時： 2013/01/05 14:52

>wは円ではないと思います…

　　　＆
>w=(z-i)/(z+i) も長さ１の線分を描く。
　　　↓
線分 = 直線片らしいから全くの見当違い…か。

w=(z-i)/(z+i) = 1 - 2i/(z+i)　　…(*)

スタート・ポイントは　z = -i, a を通る直線、でしょうね。
これに i を加えて反転した 1/(z+i) もやはり直線。
あとは、「回転」＆「平行移動」で (*) の処理完了。

　　

No.2 回答者： 178-tall 回答日時： 2013/01/04 22:04

一部、脱字？

これを変形すれば、
　1 = (1-U)/(1+U)　ただし U = i2td/{R^2 + (1+td)^2}
t∈[0, 1] にて右辺 = 1 なら、d = 0　つまり b は実数。

…かな？

　　

この回答へのお礼

bが実数なら簡単なんですが、
「０および－iは aとbを結ぶ線分上にない。」とあるので、
違うと思います＞＜

お礼日時：2013/01/04 23:23

No.1 回答者： 178-tall 回答日時： 2013/01/04 16:43

>zに aと bと その間の数 a+t(b-a) ；tは０～１ を代入して直線上に来る条件を求めようとしましたが 無解になりました。

この方針で OK 。
b = c + id とでもすれば？
　1 = |w|^2 = | (R + iS)/(R + iT) |^2 = (R^2 + S^2)/(R^2 + T^2)
　ただし R = (1-t)a + tc, S = td - 1, T = td + 1
これを変形すれば、
　1 = (1-U)/(1+U)　ただし U = 2td/{R^2 + (1+td)^2}
t∈[0, 1] にて右辺 = 1 なら、d = 0　つまり b は実数。

>aは正の実数で、aとbを結ぶ線分の 長さは１であり、０および－iは aとbを結ぶ線分上にない

これは、残務として思案してみて。

　　

この回答へのお礼

1 = |w|^2
とのことですが、

「w=(z-i)/(z+i)も長さ１の線分を描く。」とあるので
wは円ではないと思いますm(_ _)m

お礼日時：2013/01/04 23:25