線形代数の問題です。またお願いします。

こんにちは。
独学で線形代数を勉強してしているものです。
今朝も質問させていただいたのですが、
その続きでまたつまずいてしまいました。。

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下記の行列をＡとして、
Ａ^(7) 　+ 　3Ａ^（6）　+　A＾（5）　- A＾（4) 　+A＾(3) -Ａ^(2) +3Ａ　を求めよ。

　 　|　 -3 　　 0 　　2 　 |
Ａ＝ |　 -1 　　 -2　 -1 |
　　　|　 -2 　　0 　　2 　 |

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今度こそ、対角化だと思うのですが
固有値λ＝－２（重解）、1
となって
ジョルダンの標準形に直して

変換行列
　 　| 　 0 　　 -2/3 　　1 　 |
Ｐ＝ | 　 1 　　 1/3　 -3　 |
　　　|　 0 　　-1/3 　　2 　 |

となり

　　　　　　　　 　| 　 -2 　　 1 　　0 　 |
Ｐ^(-1)AP＝　 | 　 　0　　 -2　 0　 |
　　　　　　　　　|　 　0　　　0 　　1　　 |


となりそうだというところまでは出来ましたが
ここから進めなくなりました。
Ｐ^(-1)APを、対角行列Ｌと、１を１つ含む行列Ｎに分けて、

２項定理
[　Ｐ^(-1)AP　]^(n) = Ｌ^(n) + n*Ｎ*L^(n-1)　　　※Ｎ^2はゼロ


こんな感じで一般的な形にして、求めていくのかと思いましたが
行列が複雑になりすぎて、訳が分からなくなります。
変換行列やジョルダンの標準形を間違えているのか
その後のｎ乗の計算がおかしいのか、
他のやり方があるのか、さっぱり分かりません。

どうぞ、力を貸していただけないでしょうか？
宜しくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： f272 回答日時： 2013/01/11 17:20

> 固有値λ＝－２（重解）、1

と，すでに求めているんでしょ。
(x+2)^2(x-1)
と言うのは固有多項式det(xI-A)だな。

A^7+3A^6+A^5-A^4+A^3-A^2+3A = (A+2)^2(A-1) (A^4+A^2+I) +3A+4I
でケイリー・ハミルトンの定理から
(A+2)^2(A-1)=O
だということ。

この回答へのお礼

固有値とはそういう意味なんですね。
本質を理解せず、ただ機械的に固有値を求めていました。

ということは、
A^7+3A^6+A^5-A^4+A^3-A^2+3A
= (A+2)^2(A-1) (A^4+A^2+I) +3A+4I
= 0 *　(A^4+A^2+I)　+3A+4I
= 0 +3A+4I
となって、
はじめの行列を３倍して、対角の各成分に4を足せばよかったのですね。
大変ありがとうございました。

お礼日時：2013/01/11 21:47

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2013/01/11 16:19

どう「複雑になりすぎ」てるんだろう. そんなに複雑な感じはしないんだが.

ちなみに「ケイリー・ハミルトンの定理」は
固有多項式は最小多項式の倍数
ってやつだな.

x^7+3x^6+x^5-x^4+x^3-x^2+3x を (x+2)^2(x-1) で割ったら, 余りはいくら?

この回答への補足

すいません。
あと、
(x+2)^2(x-1)
っていうのは、どうやって求めたのでしょうか？
宜しくお願いします。

補足日時：2013/01/11 17:03

この回答へのお礼

すいません。
私の理解力が無くて、少し意味が。。。汗

＞x^7+3x^6+x^5-x^4+x^3-x^2+3x を (x+2)^2(x-1) で割ったら, 余りはいくら?

余りは3x+4になりましたが
これは何なんでしょう？？

お礼日時：2013/01/11 16:53

No.1 回答者： f272 回答日時： 2013/01/11 14:57

> 今度こそ、対角化だと思うのですが

ケイリー・ハミルトンの定理を使うのが常套手段のような気が...

この回答へのお礼

ええ！
ケイリー・ハミルトンの定理ですか・・・
私の参考書（マセマ）には２次のケイリー・ハミルトンの定理しか
取り扱っていないのですが、３次だとどうなるのでしょう？
しかも、ケイリー・ハミルトンの定理の使い方もろくに取り扱ってないような・・・
すいません。

お礼日時：2013/01/11 15:27