No.2ベストアンサー
- 回答日時:
>曲線y=x^2上の異なる2点P(a,a^2),Q(b,b^2)における接線を、それぞれl,mとする。
このとき、次の問に答えろ。y'=2x 接線lの傾き=2a, y-a^2=2a(x-a) より、接線l:y=2ax-a^2
同様にして、接線m:y=2bx-b^2
>(1)lとmの交点Rの座標を、a,bを用いてあらわせ。
2ax-a^2=2bx-b^2 とおくと、
2(a-b)x=a^2-b^2=(a+b)(a-b) P,Qは異なる2点だから、a-b=0でないから、
2x=a+b より、x=(a+b)/2 y=2a{(a+b)/2}-a^2=ab
よって、交点R((a+b)/2,ab)
>(2)θ=∠PRQとする。Rが{(√3+1)/2,(2√3+3)/4}に一致するとき、
(tanθ)^2および(tan2θ)^2を求めよ。
(a+b)/2=(√3+1)/2 より、a+b=√3+1, b=(√3+1)-a
ab=(2√3+3)/4 に代入して、a{(√3+1)-a}=(2√3+3)/4
4a^2-4(√3+1)a+(2√3+3)=0
解の公式より、a={(√3+1)±1}/2 から、a=√3/2,(√3/2)+1
a=√3/2 のとき、b=(√3/2)+1
a=(√3/2)+1 のとき、b=√3/2
どちらにしても結果は同じなので、
a=√3/2,b=1+(√3/2) とすると、
P(√3/2,3/4),
{1+(√3/2)}^2=(7/4)+√3 より、Q(1+(√3/2),(7/4)+√3)
PR^2={(√3/2)+(1/2)-(√3/2)}^2+{(√3/2)+(3/4)-(3/4)}^2
=(1/2)^2+(√3/2)^2
=1 より、PQ=1
QR^2={(√3/2)+(1/2)-1-(√3/2)}^2+{(√3/2)+(3/4)-(7/4)-√3}^2
=(-1/2)^2+{-1-(√3/2)}^2
=(1/4)+(7/4)+√3
=2+√3
QR=√(2+√3)=√{(4+2√3)/2}=√{(√3+1)^2/2}=(√3+1)/√2
=(√6+√2)/2
PQ^2={1+(√3/2)-(√3/2)}^2+{(7/4)+√3-(3/4)}^2
=1^2+(1+√3)^2
=5+2√3
余弦定理より、θ=∠PRQだから、
cosθ=(PR^2+QR^2-PQ^2)/2・PQ・QR
={1+(2+√3)-(5+2√3)}/2・1・{(√6+√2)/2}
=-(2+√3)/(√6+√2)
=-(2+√3)(√6-√2)/(6-2)
=-(√6+√2)/4 より、
cos^2θ=(1/16)(√6+√2)^2=(1/16)(8+4√3)=(2+√3)/4
sin^2θ=1-{(2+√3)/4}=(2-√3)/4
よって、
tan^2θ=sin^2θ/cos^2θ
={(2-√3)/4}/{(2+√3)/4}
=(2-√3)^2/(4-3)
=7-4√3
2倍角の公式より、tan(2θ)=2tanθ/(1-tan^2θ) より、
tan^2(2θ)=4tan^2θ/(1-tan^2θ)^2
1-tan^2θ=1-(7-4√3)=4√3-6=2(2√3-3) より、
よって、
tan^2(2θ)=4・(7-4√3)/4・(2√3-3)^2
=(7-4√3)/(21-12√3)
=(7-4√3)/3(7-4√3)
=1/3
(tanθ)^2=7-4√3 および(tan2θ)^2=1/3
P,Qの座標を求めて地道に計算したほうが解きやすいと思いました。
計算を確認してみてください。
No.1
- 回答日時:
(1)a≠bとして
l:y=2a(x-a)+a^2 → y=2ax-a^2 ...(A)
m:y=2b(x-b)+b^2 → y=2bx-b^2 ...(B)
(A),(B)を連立にして解けば
x=(a+b)/2, y=ab
∴ R((a+b)/2,ab)
(2)
(1)で求めたRの座標から
(a+b)/2=(√3+1)/2 → a+b=√3+1 ...(C)
ab = (2√3+3)/4 ...(D)
△PQRに余弦定理を用いて
cosθ={(a-(a+b)/2)^2+(a^2-ab)^2+(b-(a+b)/2)^2+(b^2-ab)^2-(a-b)^2-(a^2+b^2)}/(2*√{((a-(a+b)/2)^2+(a^2-ab)^2)*((b-(a+b)/2)^2+(b^2-ab)^2)})
={2((a+b)^2-2ab)^2-4ab(a+b)^2+8(ab)^2+8ab-3(a+b)^2}
/{((a+b)^2-4ab)*√(1+8(ab)^2+4(a+b)^2)}
この計算は自信ないのでこの先はやり方だけにします。
(C),(D)を代入して
cosθ= …
これを公式1+tan^2(θ)=1/cos^2(θ)に代入して
tan^2(θ)=-1+(1/cos^2(θ))
を求める。
2倍角公式:tan(2θ)=2tanθ/(1-tan^2(θ))を用いて
tan^2(2θ)=4tan^2(θ)/(1-tan^2(θ))^2
これに先に求めたtan^2(θ)を代入して
tan^2(2θ)= …
を計算すればよい。
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