線型性について質問があります

線型性の例として一番に挙げられるものとして、
f(x) = ax (aは任意の定数)
のようなものがあると思います。
f(x) = y
とすると
y = ax
となり、xに何か数を代入すると、yが決まるというような、１つ数を入力すると１つ数が出力されるという関係を表していると考えることができると思います。
ここで質問なのですが、１つ数を入力して１つ数が出力される関数のうち、線型性を備えているものは文頭のような比例関係を示している式のみなのでしょうか？
ほかにはないのですか？
また、１つしかないという証明などがあるのでしょうか？

なにか知っている方、回答よろしくおねがいします。

No.1 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2013/03/06 12:00

線型な関数を y = f(x) とおくと f(0) = 0 は簡単に言える.

で任意の点で微分可能かつすべての点で微分係数が等しいことから微分方程式を解けば f(x) = ax が得られる... だったかな?

この回答へのお礼

微分方程式に関しては全然勉強していませんので、まだまだ考える段階ではないのでしょうかね。
勉強して、改めて考えてみようと思います。

貴重なご意見ありがとうございました。

お礼日時：2013/03/16 23:21

No.3 回答者： Water_5 回答日時： 2013/03/06 12:30

そうです。

これのみです。

ｙ＝axのみです。
ｙ＝ax^2だと比例関係とは言わない。言葉使いとして。
ｙ＝a√ｘも線型とは言わない。

この回答へのお礼

できればその根拠として参考資料や証明なども付記していただければよかったのですが、参考になりました。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2013/03/16 23:23

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2013/03/06 12:24

定義から

f(x) = f(1・x) = f(1)・x = ax (a=f(1) とする)

でいいと思うけど。

この回答へのお礼

比例関係の線形性の証明ではありません。

お礼日時：2013/03/16 23:24