No.1ベストアンサー
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実数→実数の関数の場合だと
連続:∀x∀ε∃δ∀y(ε>0 ⇒(δ>0 ∧ ( |x-y|<δ ⇒ |f(x) - f(y)| < ε)
一様連続:∀ε∃δ∀x∀y(ε>0 ⇒(δ>0 ∧ ( |x-y|<δ ⇒ |f(x) - f(y)| < ε)
同様に、関数列の場合にはindex nを含めて
同程度連続:∀x∀ε∃δ∀n∀y(ε>0 ⇒ (δ>0 ∧ (n∈N ⇒( |x-y|<δ⇒ |f[n](x) - f[n](y)| < ε))))
一様同程度連続:∀ε∃δ∀n∀x∀y(ε>0 ⇒(δ>0 ∧ ( |x-y|<δ ⇒ |f[n](x) - f[n](y)| < ε)
「一様」が付くか付かないかでは、限量子の順番が違うだけ。∀同士、∃同士の順番は入れ替えても意味が変わらないが、∀と∃の順番は入れ替えると意味が異なる。
「一様」が付かない方は、任意のεと任意のxをセットで与えたときに、それに応じてδが決められ、すべてのnに適用される。
「一様」が付く方は、任意のεを与えたときに、それに応じてδが決められて、そのδがすべてのx、すべてのnに適用される。
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