合成関数ってどんな式を合成関数って言うんですか？ また、g(f(x))とf(x)って、何が違うのです

合成関数ってどんな式を合成関数って言うんですか？
また、g(f(x))とf(x)って、何が違うのですか？例えば
f(x)=(x^2+3x+1)^4という合成関数があったとします。
この合成関数に関して、g'(f(x))とg(f(x))と(f(x))はf(x)=(x^2+3x+1)^4の式のどこに当てはまるのでしょうか？

No.1 回答者： lv4u 回答日時： 2018/08/24 06:14

＞＞合成関数ってどんな式を合成関数って言うんですか？

ある関数(例えばf)の入力値にたいする結果値がもうひとつの関数(g)の入力値になっているような関数のことを合成関数というようですよ。

No.2 回答者： Zincer 回答日時： 2018/08/24 06:32

「関数」を「数値の変換」と言い換えるとわかりやすいでしょうか。

その変換のルールを定義しているのが関数f(x)やg(x)なのです。
＞例えばf(x)=(x^2+3x+1)^4という合成関数があったとします。
これですと合成関数と呼びません。
「f(x)=x^2+3x+1」と「g(x)=x^4」の２つの関数があったとき、g(f(x))とすると、例のような関数が出来上がりますね。これが合成関数です。
もっとひらたくいえば、２つ（またはそれ以上）の関数で２回（＝２段階）の変換をするとき合成関数と呼びます。

No.3 回答者： rinkun 回答日時： 2018/08/24 07:26

一般にfがXからYへの関数で、gがYからZへの関数のとき

x∈X を g(f(x))∈Z に移す関数をfとgの合成関数と言いg・fのように書きます。
(g・f)(x) := g(f(x)) ですね。
質問で例示されている式はX,Y,Zがともに実数体(あるいは複素数体)の場合です。
f(x)=x^2+3x+1, g(x)=x^4 のとき
(g・f)(x) = g(f(x)) = (x^2+3x+1)^4
ですね。
合成関数の微分は
(g・f)'(x) = g'(f(x))f'(x) = 4(x^2+3x+1)^3 (2x+3)
となりますね。

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/08/25 08:36

後半の疑問が前半とどうつながるかわからないし、

何を言っているかも不明なので前半だけ。

f(x)=x^2+3x+1
g(x)=x^4

の g(f(x)) と f(x) の違いだけど
g(f(x)) = (x^2+3x+1)^4 と f(x)=x^2+3x+1
となるので、独立変数 x に対して明らかに式の形が違うので、
同じでないことはあきらかです。

で、いままでの連投を見ていると、なんとなく「独立変数」をわかっていないっぽいので
そこに話を絞ります。

g(x)=x^4
と
g(y)=y^4

という二つの書き方は本質的に全く同等で、独立変数x や y という「名前」に
特別な意味はありません。独立変数は「仮に」つけられた名前で何でもよいわけです。

f と g が同じ独立変数名を使って定義されていたとしても、fとgの独立変数にはなんの
関連もありません。たまたま同じ名前を使っているだけです。

独立変数は 関数の中で「閉じて」いるのです。「束縛されている」というような
言い方もしますね。

g(f(x))　を考える場合、f と g に入力されるものは異なるので、同じ名前の独立変数を
使うと混乱します。そこで

f(x)=x^2+3x+1
g(y)=y^4
y=f(x)

というように独立変数を書き換えてから、合成関数を考えるわけです。
y に f(x) を、 f(x) に x^2+3x+1　を代入すれば合成関数がどうなるかは
簡単に求まりますよね。

合成関数の微分を考える時も、こうした独立変数の書き換えをきっちりやっておけば
すんなり理解できますよ。