【数学】同程度連続の定義について

(fn) を、実数全体の集合 R の部分集合 X 上で定義された実数値関数 fn : X → R の列とする。
この列 (fn) が同程度連続であることの定義は、任意の ε > 0 と x ∈ X に対し、適切な δ > 0 を選べば、任意の自然数 n と |x - x′| < δ なる任意の x' ∈ X に対し、|fn(x) - fn(x′)| < ε が成立することである。（Wikipediaより）

同程度連続であれば、全ての関数 fn が連続であることは理解できますが、「全ての fn について、ある領域 I における変動の度合が一定以下」であるという部分がわかりません。例えばどのような関数列の場合に「全ての関数が連続」でありながら「全ての fn について、ある領域 I における変動の度合が一定以下」とはならない、ということになり得るのでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/05/17 13:17

例えば 0∈X, fn(x) = nx のとき、

各 fn(x) は連続ですが、{ fn(x) } は同程度連続ではありません。
x = 0 において、n が大きいほど同じ ε に対して小さい δ が必要になり、
ひとつの正数 δ を選べないからです。