ガウスの法則での定積分の範囲

Question

無限に長い円筒の側面に面密度σで電荷が分布しているとする。この円筒の中心軸からrの距離での電場は
E=σa/εoｒ
である。

2つの導体円筒A(半径a)B(半径b)共に長さｌ で a<b　を中心軸を重ねコンデンサーをつくる。外側の円筒Bを接地し、内側の円筒Aに電荷Qを与えたとして電気容量Cを求めよとありました。

コンデンサーの式がQ=CVなので

まずEを積分してVを出せばいいと考えました

でもこの際、

定積分で

V=-∫a→b Edr　なのでしょうか
それとも　V =-∫b→aEdrなのでしょうか。

半径が大きいのがbなのではじめa→bと考えましたが答えが違っていたので
接地はV=0で通常ここを基準にするという考えで

b→aにすればいいのでしょうか。

ngkdddjkk · Accepted Answer

F=qE
エネルギー計算は、
W=-∫[a→b]Fdr・・・[ポテンシャルはb>aの関係にあります]
です。
ここで、
V=-∫[a→b]Fdr=-∫[a→b]qEdr
電位の定義は、q=+1[C]の電荷を電界に逆らって…であるので、仕事の考え方と同じく、
V=-∫[b→a]qEdr・・・[内部の円筒に+q[C]の電荷をおいたときの電界の分布(電位の分布)を見ればよい。a>bになる]
となる。

基本的に、無限遠がゼロ電位であることは電磁気学ではほぼ自明だから、無限遠から遠いほうに+q[C]の電荷をおいて考えればよい。

Quarks · Answer

Ｑ＝Ｃ・Ｖ
の公式を使うということは、電位差Ｖを
　Ｖ＞０
として計算するということが暗黙の前提になっています。
　
電位差とは、小さな正電荷を電場の方向に運ぶときに(単位電荷に対して)電場がした仕事の大きさで表した量です。
　
電場の方向が、その正の向きになるように、ｒ軸を取ったとします。
ｒ軸上に近接した２点Ｐ，Ｑを考えます。
０<ａ<ｂ として、ｒ＝ａの点をＰ，ｒ＝ｂの点をＱ　とします。Ｐ－Ｑ間の電場(Ｅ)の向きは
Ｐ→Ｑ
ですから、正電荷(dＱ)をＰ点に置けば、電場がそれをＰ→Ｑの方向に運んでいくことになり、その仕事dＷは
　dＷ＝(Ｅ・dＱ)・|ａ－ｂ|
となります。なお、仕事としてＷではなく、dＷのようにdを付したのは、それが小さな仕事だという意味を込めてのことです。
単位電荷当たりの仕事は
　(dＷ)/(dＱ)＝Ｅ・|ａ－ｂ|
で、これが、電位差dＶpqに相当する量です。
ここで、次のようなことを考えてみましょう。
Ｐ→Ｑ間の距離を、その向きも含めて dｒ と表現してみます。つまり、dｒをベクトルとして見るということです。電場Ｅの向きと一致した向きに取っています。
電場もベクトルですから向きを持っており、今は　Ｐ→Ｑ としているのでした。
ここで、Ｅとdｒとの内積(Ｅ・dｒ)を考えてみます。両ベクトルは同じ向きですから、内積は正の数となります。
　dＶpq＝Ｅ・|ａ－ｂ|
この式の |ａ－ｂ| を、Ｅの向きに取った dｒ で置き換えると
　dＶpq＝Ｅ・|ａ－ｂ|
　＝Ｅ・dｒ
機械的に、積分記号を付け加えてみると
　∫dＶpq＝∫Ｅ・dｒ
この右辺が、我々が問題にしている、積分そのものなのです。
行論から明らかなように、dｒはＰ→Ｑの向きでした。問題になっている装置では、内円筒→外円筒　の向きに電場ができていますから、dｒもまたＰ→Ｑの向きを正とする向きということになります。
そして、積分範囲とは、このdＲの向きをどの向きに取るかを示したものなのです。
積分範囲を　a→b と取れば、これはdｒをＥの向きに取ったことを意味し、b→a と取れば、これはdｒをＥの向きと正反対の向きに取ったことを意味します。
ですから
　電位差＝∫[a→b]Ｅ・dｒ
　＝－∫[b→a]Ｅ・dｒ
ということになります。
　
形式的な話になりましたが、定積分の積分因子dｒと、積分範囲の上底・下底 との関係から説明してみました。わかり難かったかも知れません。
　
結論を繰り返せば
　積分範囲を、電場の向きに一致するように設定すれば、　電位差＝∫[積分範囲]Ｅ・dｒ　
　積分範囲を、電場の向きと逆に設定すれば、　電位差＝－∫[積分範囲]Ｅ・dｒ
ということになります。

ガウスの法則での定積分の範囲

Ｑ＝Ｃ・Ｖ

F=qE

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