[確率の問題] グループ割りについて

数学が得意な方、教えてください。

社員旅行が予定されており、15人の社員を4部屋(4人、4人、4人、3人)に部屋割りします。
ただ、4人の悪質な仲良しグループ会員を別々の部屋にしたいと考えています。

表向きはランダムに部屋割りをしたことにしますが、実際これら特定の4人が同じ部屋にならない(全員が別々の部屋になる) 確率はいくつでしょうか。

部屋番号、4人の名前は区別しないものとします。

どうぞ宜しくお願いいたします。

No.1 回答者： fluidicB 回答日時： 2013/04/26 00:18

確率を議論するときのテクニックとして、とにかく区別できると考えて、必要ならあとで割り戻す、ってのがあります。

部屋割りじゃなくて、部屋割り番号札が01, 02, ..., 15まであって、15人がそれを引く。01-04は相部屋、05-08が相部屋って考える。
すると区別できる15人による区別できる部屋割り番号札の引き方は15!とおりある。

話が簡単になるように問題の４人が別々の部屋に行く場合の数について次のように考えていきます。
（１）この場合、４人のうち、かならずだれか一人が３人部屋にいく。それがだれかはわからないので誰が行くことになるか自体は４通り　この行くことになった人を社員１と呼ぶ
（２）この社員１が、３人部屋となる部屋割り番号札のひき方は３とおりある。
（３）のこりの３人を社員番号順なり、あいうえお順なり、テキトーな何かの規則で社員２，３，４と呼ぶことにする。社員２が残りの４人部屋のどこかの部屋割り番号札を引くという引き方は１２とおりある。
（４）社員３が、残り２部屋となった４人部屋のどこかの部屋割り番号札を引くという引き方は８とおりある。
（５）社員４が、残り１部屋となった４人部屋のどこかの部屋割り番号札を引くという引き方は４とおりある。
（６）残り１１人の普通の社員を（３）と同様の命名規則で社員５～１５と呼んで、この時点で残っている部屋割り番号札１１枚を引いていくと、その引き方は11!通りある。

という（１）から（６）の全部の掛け算になるので
（部屋割り番号札という考え方の下で）４人別々という場合の数は、
4×3×12×8×4×11!

この値を最初の15!で割ったのが今回求めたい確率です。
約分すると64/455
およそ14%という数字。


だいぶ自信がないですが...

No.2 回答者： noname#182106 回答日時： 2013/04/26 10:06

部屋割りするプロセスが分らなければ無理。

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2013/04/26 14:13

イロイロのものを一旦なるべく区別するという方針は

A No.1 に大賛成として…
部屋の方は、最初から同一視してもいいかとも思う。
15 人は区別しておく。

15 人にダミーのメンバーを 1 人加えて
16 人を 4 人づつに分ける分け方の総数は、
(16C4)(12C4)(8C4)(4C4)/(4!) 通り。
部屋を区別しないから、4! で割ってある。

その中で、件の 4 人が別々の部屋になる分け方は、
残りの 12 人を 4 人の誰と相部屋にするかと考えて
(12C3)(9C3)(6C3)(3C3) 通り。

求めたい確率は、
(12C3)(9C3)(6C3)(3C3) ÷ (16C4)(12C4)(8C4)(4C4)/(4!)
= (2^6)/(5・7・13)
≒ 0.14066
答えも一致したかな。

No.4 回答者： yyssaa 回答日時： 2013/04/26 15:20

＞15人を4人、4人、4人、3人に分ける分け方は全部で

(15C3)*(12C4)*(8C4)/3!=2627625通り。
このうち、悪質な4人が各部屋に1人ずつになる分け方は、
15-4=11人を3人、3人、3人、2人に分ける分け方
(11C2)*(9C3)*(6C3)/3!=15400通りに4人の分け方4!=24通り
をかけた数になるので、求める確率は
15400*24/2627625=64/455・・・答