展開式

(1+x+xの2乗)の７乗　xの３乗の係数を教えてください。(解き方も)

No.8 回答者： sunflower-san 回答日時： 2013/05/28 00:33

二項展開を使う方法について。

下の画像のように変形してやると、少し計算が楽になります↓

No.7 回答者： noname#180442 回答日時： 2013/05/27 14:03

　同じような質問をされてますね。

>(2xの２乗+3)の6乗　xの6乗の係数の解き方を教えてください。
>(x+x分の2)の4乗　xの2乗の係数を教えてください。

　この問題も、これまでの回答者の方々がお示しになったように、基本的には同じ考え方で出来るはずです。x + x^2= a とおいて、次のように力まかせに解いてみたらいかがでしょうか。

(1 + a)^2 =1 + 2a + a^2=1 + 2(x + x^2) + (x + x^2)^2
(1 + a)^3 =1 + 3a + 3a^2 + a^3 = …
(1 + a)^4 =(1 +a)(1 + 3a + 3a^2 +a^3) =…

大変でしょうが、各回答者の方々のご指摘がより良く理解出来ると思います。そして、ニ項定理を味わうとよろしいかと。
写し計算は、おすすめでないです。

No.6 回答者： info22_ 回答日時： 2013/05/27 13:03

(1+x+x^2)^7

x^3の項は
(1+x+x^2)(1+x+x^2)(1+x+x^2)(1+x+x^2)(1+x+x^2)(1+x+x^2)(1+x+x^2)
において
(A)７つの因数のどれか１つの因数からx^2を選び、
残りの６つの因数のどれか１つの因数からxを選び、
更に、残りの５つの因数から全部1を選ぶ
組合せ　7C1*6C1*5C5=44
と
(B)7つの因数のどれか３つの因数からxを選び
残り４つの因数は全て1を選ぶ組合せ　7C3*4C4=35
の係数の和より
　44+35=77　
とx^3となる選び方の組合せ数が求まります。
因数(1+x+x^2)のxの各次の係数が全て1なので
(x^3となる項の選び方の組み合わせ数)＝(x^3の係数)
となるので答えは「77」となります。

No.5 回答者： berokanda 回答日時： 2013/05/27 12:56

|| 7つの箱があって、それぞれ赤、青、黄の玉が1つずつ入っている。

|| すべての箱から1つずつ玉を取り出した時、赤が4つで黄が3つになる取り方と
|| 赤が5つ、青が1つ、黄が1つになる取り方の組み合わせは合計何通りになるか？

という問題だと思えばいいです。

赤が4つで黄が3つになる取り方
=黄の入った箱3つを選ぶ組み合わせ
=7C3

赤が5つ、青が1つ、黄が1つになる取り方
=青と黄の入った箱を1つずつ選ぶ組み合わせ
=(7C1)×(6C1)

これらを足したのがx^3の係数。


（別解）
(1+x+x^2)^7=Σ[n=0～14]a[n]x^n=f(x)
と置きます。

f'''(0)=a[3]×3×2×1
なので、f'''(0)（f(x)の3階微分でx=0と置いたもの）を計算すれば、a[3]が求まります。

※別解は計算間違いしやすいのでお勧めしません。参考まで。

No.4 回答者： asuncion 回答日時： 2013/05/27 00:03

二項定理を知らない場合、展開するしかないですね。

解き方の一つとして、「地道に展開する」のは十分ありだと思います。
7乗を展開するにはかなり時間がかかるとは思いますけれど。
頂上へのルートで最短距離を取りたければ、二項定理をマスターすべし、
ということでしょうか。

No.3 回答者： HIROWI02 回答日時： 2013/05/26 23:33

No2です。

X^3……Ｘの三乗って意味ですのでお間違え泣く。




展開して解く人はいませんよ。

No.2 回答者： HIROWI02 回答日時： 2013/05/26 23:31

＞＞(1+x+xの2乗)の７乗　xの３乗の係数を教えてください。

{7!/(p!q!r!)}(x^2p)×x^q×1^r………(1)

※7＝p+q+r……(2)

よって

(1)の(x^2p)×x^q×1^r　の部分がｘ^3になるには

(p,q,r)＝(0,3,4)と(1,1,5)の２通りあるので

(1)の式に(0,3,4)と(1,1,5)をそれぞれ代入し加算します。

つまり


{7!/(3!2!)}×(x^3)

　　　　　＋

{7!/(1!2!3!)}(x^2)×x　

をしますと

でxの３乗の係数が出ます。


係数ぐらいは自分で出しましょう。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2013/05/26 23:30

展開すればいい. それだけ.