数学ＩＩＩ 区分求積法

以下の画像に示す問題がわかりません。
どのようにして定積分へ持っていけばよいのでしょうか。

No.7 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2013/06/16 07:21

No.4です。

ANo.4の補足質問の回答

>わからないことがあるのですが、
>>I=lim(n→∞)(1/n^2){(√1+√n)^2+(√2+√n)^2+…+(√n+√n)^2}
>>=lim(n→∞)(1/n){(√1+√n)^2/n+(√2+√n)^2/n+…+(√n+√n)^2/n}
>>=lim(n→∞)(1/n){(√(1/n)+√(n/n))^2+(√(2/n)+√(n/n))^2+…+(√(n/n)+√(n/n))^2}
>>=lim(n→∞)(1/n){(√(1/n)+1)^2+(√(2/n)+1)^2+…+(√(n/n)+1)^2}
>この式の中の2行目から3行目の変形は、どのようにしてそうなったのでしょうか。
>(√1+√n)^2/n　が　(√(1/n)+√(n/n))^2になっています
>が、わたしは、
>(√1+√n)^2/n = 1/n + 2√n/n + n/n
>となる以外に変形の方法が思い当たりません。
>なので、申し訳ありませんがどのような考え方で回答者様の
>ような変形にいたったのかを教えていただきたいです。

括弧をばらしてはいけません。

n>0なので　n=(√n)^2と考えて
(√1+√n)^2/n=(√1+√n)^2/(√n)^2

２乗の公式(A^2)(B^2)=(AB)^2を使って√nを２乗の括弧の中に入れて
={(√1+√n)/√n}^2

分配則を使って括弧( )を外して
={(√1/√n)+(√n/√n)}^2

√の公式√A/√B=√(A/B)を使って
={√(1/n)+√(n/n)}^2

となりますね。

お分かりでしょうか？

この回答へのお礼

ありがとうございます。
よく理解できました。
自分でこの式変形がすぐ思いつくようにならなければいけませんね。

お礼日時：2013/06/18 22:40

No.8 回答者： 151A48 回答日時： 2013/06/16 21:46

♯２です。

補足質問の件ですが，他の回答者の方も説明しておられるので・・・。蛇足ながら，
｛　　｝の外の1/n^2の内1/nを中へ入れて√（k/n）を作る。
2√xの０から１の定積分になる。
ちなみに１番目も要素は和の公式よりn(n+1)/2　これにに1/n^2をかけて(n+1)/2n→1/2
３番目の要素は定数１

この回答へのお礼

なるほど、ありがとうございます。
教科書で学ぶ解き方とは少し違いますが、このような考え方もあるのかと思いました。
ありがとうございました。

お礼日時：2013/06/18 22:45

No.6 回答者： htms42 回答日時： 2013/06/16 06:09

＃３です。

変形がわからないということですが

(√ｎ)^2＝ｎ
(√ｋ＋√ｎ)^2＝ｎ(１＋√(ｋ／ｎ))^2
これでわかるのではありませんか。

この回答へのお礼

わかりました。ありがとうございます。
私も式の変形テクニックをマスターできるように日々努力していきたいと思います。

お礼日時：2013/06/18 22:43

No.5 回答者： Tacosan 回答日時： 2013/06/16 02:42

数III なら Σ は使えるな, と.

区分求積法でよくあるのが
lim (n→∞) (1/n)Σ(k=1～n) f(k/n) = ∫(x: 0→1) f(x) dx
というパターン.

#3 なんかはモロにこの形を目指してるね.

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
他の方々の回答もあり、理解することができました。
ありがとうございました。

お礼日時：2013/06/18 22:42

No.4 回答者： info22_ 回答日時： 2013/06/15 21:00

I=lim(n→∞)(1/n^2){(√1+√n)^2+(√2+√n)^2+…+(√n+√n)^2}

=lim(n→∞)(1/n){(√1+√n)^2/n+(√2+√n)^2/n+…+(√n+√n)^2/n}
=lim(n→∞)(1/n){(√(1/n)+√(n/n))^2+(√(2/n)+√(n/n))^2+…+(√(n/n)+√(n/n))^2}
=lim(n→∞)(1/n){(√(1/n)+1)^2+(√(2/n)+1)^2+…+(√(n/n)+1)^2}
右方区分積分法の定義式を適用すると、
　被積分関数は（1+√x)^2
　積分区間は0～1
とした定積分に直せて
I=∫[0→1] (1+√x)^2 dx
となります。

この積分なら　(1+√x)^2=1+x+2x^(1/2) と展開すれば
簡単に積分出来るでしょう。

お分かりになりましたか？

もし、分からない箇所があったら補足で質問して下さい。

この回答への補足

回答ありがとうございます。
わからないことがあるのですが、
I=lim(n→∞)(1/n^2){(√1+√n)^2+(√2+√n)^2+…+(√n+√n)^2}
=lim(n→∞)(1/n){(√1+√n)^2/n+(√2+√n)^2/n+…+(√n+√n)^2/n}
=lim(n→∞)(1/n){(√(1/n)+√(n/n))^2+(√(2/n)+√(n/n))^2+…+(√(n/n)+√(n/n))^2}
=lim(n→∞)(1/n){(√(1/n)+1)^2+(√(2/n)+1)^2+…+(√(n/n)+1)^2}
この式の中の2行目から3行目の変形は、どのようにしてそうなったのでしょうか。
(√1+√n)^2/n　が　(√(1/n)+√(n/n))^2になっていますが、
わたしは、
(√1+√n)^2/n = 1/n + 2√n/n + n/n
となる以外に変形の方法が思い当たりません。
なので、申し訳ありませんがどのような考え方で回答者様のような変形にいたったのかを教えていただきたいです。
よろしくお願いします。

補足日時：2013/06/15 22:17

No.3 回答者： htms42 回答日時： 2013/06/15 07:52

（　）の中から　√ｎ　を外に出します。

∑((１＋√（ｋ／ｎ))^2)／ｎ

この回答への補足

回答ありがとうございます。
＞（　）の中から　√ｎ　を外に出します。
＞∑((１＋√（ｋ／ｎ))^2)／ｎ

どのようにしてそのような変形をしたのでしょうか？

補足日時：2013/06/15 22:26

No.2 回答者： 151A48 回答日時： 2013/06/14 23:46

{ }の中，展開して整理。

1+2+・・・・n
2√n (√１　＋√２　＋・・・・√ｎ）
n^2
にわける。２番目の要素が区分求積に。
（１／ｎ）（√１／ｎ　＋√２／ｎ　＋・・・√ｎ／ｎ　）

この回答への補足

回答ありがとうございます。
＞{ }の中，展開して整理。
1+2+・・・・n
2√n (√１　＋√２　＋・・・・√ｎ）
n^2
にわける。

までは理解できました。
ただ、
＞２番目の要素が区分求積に。
（１／ｎ）（√１／ｎ　＋√２／ｎ　＋・・・√ｎ／ｎ　）

に関してはいまいちよくわかりません。
なぜそのような形になるのか、という点です。

補足日時：2013/06/15 23:19

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2013/06/14 23:37

「定積分へ持っていく」なら, 1/n^2 のうち 1/n は残しておいてもう 1つの 1/n をカッコの中に入れればいいんじゃね?

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
回答者様の言うとおり、1/nを括弧の中へ入れようと思ったのですが、どのようになるのか想像がつかず、こちらに質問した次第でございます。
ありがとうございます。

お礼日時：2013/06/15 23:22