一般均衡の問題です。

同一の効用関数　U=xy^a を持つn人からなる経済を考える。ここで、xとyはそれぞれの財の数量を表し、a>0とする。各個人は、所有する一単位の労働からxもしくはyを一単位生産し、ほかの財と交換する(労働の不効用はゼロ)。x財の価格は１、y財は完全競争価格pで取引される。また、x財とy財の生産を選択する人数をそれぞれsとtとする。次の問題に答えよ。

1 各個人のxとyの支出比を求めよ。
2 xを生産する者のyの需要量を求めよ。
3 ワルラス均衡価格を求めよ。
4 xを生産する者とyを生産する者の効用比を求めよ。
5 xを生産する者とｙを生産する者の効用比を求めよ。n=20,a=4として、各個人がより効用の高くなる財の生産を自由に選択するとき、実現するxとyの総生産量の比を求めよ。

1は1:aと求まりました。2はa/(1+a)pとなり、3は(n-1)(a+1)/2となりました。
4以降からわかりません。4は各個人の間接効用に3の均衡価格を代入すれば得られると考えたのですが、もっともらしいような答えが得られません。

4の考え方がよくないのでしょうか、それとも3までの解答があっていないのでしょうか。わかる方はヒントでもよいのでご教授願います。

No.6 ベストアンサー 回答者： noname#180909 回答日時： 2013/07/02 20:03

合っていると思います。

No.5 回答者： noname#180909 回答日時： 2013/07/02 18:54

1:1ではないと思います。

1:1なら、問4の通り効用を比較すれば、Y財を生産した方が有利だから。

この回答への補足

s:t=4:16=1:4 と求まりました。

補足日時：2013/07/02 19:31

この回答へのお礼

考えてみます。申し訳ないですが、少し時間を下さい。

お礼日時：2013/07/02 19:22

No.4 回答者： noname#180909 回答日時： 2013/07/02 17:42

>p=(1+a)s-1=a/{(1+a)t-a}

んー？途中計算を見てみないとちょっと分かりませんねぇ。

私は以下のように考えたけど：

(X財を生産する個人1人のX財への需要)s+
(Y財を生産する個人1人のX財への需要)t
=s

[s/(1+a)]+[tp/(1+a)]=s

もちろんY財について式を立ててもいいはず。

この回答への補足

何度もすみません。最後の実現する総生産量の比は1:1で大丈夫でしょうか？

補足日時：2013/07/02 18:20

この回答へのお礼

集計するのを忘れていました！すっかり失念していました。これを参考にもう一度やってみます！
解けた時点でベストアンサーつけます。

お礼日時：2013/07/02 18:06

No.3 回答者： statecollege 回答日時： 2013/07/02 16:54

No1です。

私の間違いですね。私の回答はx対ｙの比率でした！私の計算は以下のようになります。効用最大化の1階の条件はMRS(x,y)＝1/pである(右辺はx財とｙ財の価格比率）。ところが、

　　　　MRS(x,y)＝（∂U/∂x)/(∂U/∂ｙ）＝y^a/axy^(a-1) = y/(ax)

よって、1階の条件より

　　　　　ｙ/(ax) = 1/p　⇒　y/x = a/p ⇒　x/y = p/a

x財とｙ財の比率はp対aで、これが私の回答でしたが、問題はｘとｙへの「支出」比率を求めよ、でしたね！つまり、ｘとｐｙの比率ですから、たしかに
　　　　
　　　　　x/(pｙ) = 1/a　

となり、あなたの答えで合っています。　

この回答へのお礼

わざわざすみませんでした。解答いただき大変ありがとうございます。

お礼日時：2013/07/02 17:16

No.2 回答者： noname#180909 回答日時： 2013/07/02 15:33

1と2はいいと思います。

3は問題があいまいだけど4、5を考えると
sとt（とa）で表せばいいのではないかと思いますよ。
(n-1)(a+1)/2というのは、どうしてそうなったのですか。

4もとりあえずsとt（とa）で表せ、ということかなと。
間接効用に均衡価格を代入するという考えでOK。

5は、効用比を見ればすぐわかる。

この回答への補足

解答ありがとうございます。やはり方針自体はあっていたんですね。3番は勘違いでした。経済の資源制約からpをsとtでそれぞれ表すと

p=(1+a)s-1=a/{(1+a)t-a}

となったのですが、これで良いのでしょうか？

補足日時：2013/07/02 16:42

No.1 回答者： statecollege 回答日時： 2013/07/02 08:00

残念ながら、あなたの答えは最初から間違っているようです。

ここを間違えると、以下の答えに影響します。ヒントとして、1番目の正しい答えを書いておきます。ｘとｙへの支出比は1:aではなく、 p:aとなります。なぜこうなるか追加質問の欄をつかって示してください。あとはそれから議論します。

この回答への補足

すみません、何度考えても1:aになってしまいます。大変申し訳ないのですが、私の解答を見ていただけないでしょうか

xタイプを生産する個人の効用最大化問題次式によって定式化される。

Max xy^a
s.t. x+py=1

ラグランジュ乗数法を用いてxとyについて解けば

x=1/(1+a) y=a/(1+a)p

したがって、支出比はx:pyであることから

x:py=1/(1+a):a/(1+a)=1:a

次にyタイプの個人の効用最大化問題は

Max xy^a
s.t. x+py=p

より、x=p/(1+a) y=a/(1+a) となりますから、支出比は

x:py=p/(1+a):ap/(1+a)=1:a

以上です。非常に単純なところで勘違いしているのではないかと思うのですが…

補足日時：2013/07/02 12:46