算数の問題　キャベツ

Question

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農夫はいつも正方形の配列で、同じ間隔でキャベツを植えます。
今年は、何個か何者かに食べられるのを予測して、多めに植えることにしました。
合計で、４７個の追加のキャベツを植えました。

去年植えたキャベツの数はいくつですか。

答えは５２９です。
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なぜこうなるのか分かりません。
よろしくお願いします！
<m(__)m>

hashioogi · Accepted Answer

今年の個数をx、昨年の個数をyとすると、
x^2-y^2=47
∴(x-y)(x+y)=47
掛けて整数の47になるのは1と47だけ。ということは、
x-y=1でx+y=47ということ。
だから正方形の辺の大きさは昨年より1だけ大きい。

englishquestion · Answer

なぜ、一つだけ大きくしたことが分かるか、という問いに答えます。
それは、47が素数だからです。

例えば、追加のキャベツが15個だった場合、「去年は1個（1x1）だけ植えていて、今年は16個（4x4）に植えた」ということも考えられますし、「去年は49個（7x7）だけ植えていて、今年は64個（8x8）に植えた」ということも考えられます。

なぜ素数だと、このようなことがありえないのでしょうか。
それは、追加するキャベツの個数が、追加する列数の倍数になるからです。

たとえば、2列追加すると、もとの列数x2列x2つ ＋ 2列x2列 　追加するキャベツは必要です。それは他の方の回答からもわかると思います。（追加部分の面積です）
上の結果は必ず偶数になってしまいます。素数にはなりえません。

文字を使わせてもらえば、もとの列数をnとして、
k列追加すると、n x k x 2 ＋ k x k 　追加するキャベツは必要です。
n x k x 2 も k x k も kの倍数ですから、足し算結果もkの倍数になります。

この足し算の結果が47ということですから、k（追加する列数）は1以外に考えられないのです。

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実際問題として、入試でこの検討が必要かどうかは、
・これを出題した中学校の偏差値
・これが小さな小問として出ているのか、大きな問題として出ているのか
などを見てみないと分かりません。

まあ、普通に考えれば、この検討がちゃんとできる中学受験生なんてたくさんいるとは思えないので、単純に1列追加したんだなと思って解いてしまうのがいいと思います。
あれこれ考えて何も書けないというのは点がないからです。

その後時間があれば、別の場合がないのかを考えてみる、というのが実際の戦術としては正解でしょう。

Pochi67 · Answer

No.4です。

> 去年の一辺とｎと表し、今年を（ｎ＋１）と表せるのはなぜなのでしょうか？？？

確かに先の説明では他の場合の可能性の証明（解答はひとつか否か）が欠いており、説明不足だったと後から思いました。
　すみません。

去年の一辺とｎとし、今年を（ｎ＋１）と、仮定をします。
　つまり、今年は一辺につきひとつ多く植える・・・と、仮に決めて計算します。
　ここまでは前述の通りです。

で、次に、一辺につきふたつ多く、みっつ多く、・・・と仮定した場合、条件が成り立つかを考えます。

追加の数は47個。
　一辺につきひとつ増えると、全体では2ｎ-1個増える。
　一辺につきふたつ増えると、奇数個+奇数個で、計算するまでもなく全体での増加分は偶数個となり、条件に当てはまりません。
　増え方は、一辺につき奇数個だとわかります。

一辺につきみっつ増えると、
　（2ｎ-1）+{2（ｎ+1）-1}+{2（ｎ+2）-1}＝6ｎ+3
　全体の増加分が6ｎ+3＝47
　ｎは自然数でなければいけないので、一辺につきみっつ増やした場合は成り立たちません。

四個の場合もふたつの時と同様、増加分が偶数個になるので不適。

五個の場合もみっつの時と同様に計算から否定出来ます。

そこから先の奇数個の場合は、去年植えたキャベツが無くなってしまうので、可能性はゼロです。

このことから、今年は去年よりも一辺につきひとつ多く植えたことが確定します。
　これで、最初の仮定の解答が、唯一の答えだと求められました。

ORUKA1951 · Answer

○　●　　◎は昨年の植え付け　１個
◎　○　　○と●は今年

○　○　●
◎　◎　○
◎　◎　○

○　○　○　●
◎　◎　◎　○
◎　◎　◎　○
◎　◎　◎　○

○　○　○　○　●
◎　◎　◎　◎　○
◎　◎　◎　◎　○
◎　◎　◎　◎　○
◎　◎　◎　◎　○

と、常に（一列の個数×２＋1）ずつ増えることがわかります。
４７個植えたのですから、昨年は
(47-1)/2 = 46/2 = 23個が一列だとわかります。
縦横２３個ですから、23×23 = 529個

mshr1962 · Answer

No.1です。
>一辺で何個増えたかわからないのに、（ｘ＋１）、のように、
>＋１と表現できるのは、なぜなのでしょうか。。。

問題文の「何個か何者かに食べられるのを予測して、多めに植えることにしました。」の
『何個か』がキーです。数個でいいのに47個も追加することになったわけです。
複数列の追加で考えた場合

（X+n)^2-X^2=47

と式を立ててもいいのですが、この式を展開すると

X=(47-n^2)/2n

n=1でX=23
n=2でX=10+3/4　13^2-11^2=169-121=48　12^2-11^2=144-121=23
n=3でX=6+1/6　10^2-7^2=100-49=51　8^2-7^2=64-49=15
n=4でX=3+7/8　8^2-4^2=64-16=48　5^2-4^2=25-16=9
で正解になる値はn=1の時の529だけが正しい値になりますし
単純に1列増やすだけで何個か増えるのに十分で複数列増やす必要が無いことが分かります。

redgarbera · Answer

わかりやすいように、まず５個×５個で25個並べたと考えてみましょう。下手ですが図を見て下さいね。
そして、それよりひとつ大きな正方形を作ります。すると全部で11個多くつけ加えればいいことがわかりますね。そしてそれは５が２列と、そして角に１つですね。
このように、正方形に並べた○につけ加えてもうひとつ大きな正方形を作るときは、もとの正方形の一辺の数×２とあと１つだけ○が必要だということになります。
だから、この問題で47個必要だったということは、もとの正方形の一辺の数×２＋１が47個だということなのですから、47から１を引いて２で割れば、もとの正方形の一辺の数が出ますね。これが23だということです。だからもとの正方形は23×２３で529なんですね。
いかがですか。わかりにくかったら補足をつけて下さいね。

Pochi67 · Answer

正方形の配列で植えるから。

一辺に5個植えるなら、全部で25個植える。
　一辺に6個植えるなら、全部で36個植える。　プラス11個
　一辺に7個植えるなら、全部で49個植える。　プラス13個
　・・・
　一辺にｎ個植えるなら、全部でｎ＾2個植える。　プラス2ｎ-1個
　一辺に（ｎ+1）個植えるなら、全部で（ｎ+1）＾2個植える。　プラス2（ｎ+1）-1個

去年は一辺にｎ個、今年は（ｎ+1）個植えたとする。
　去年の総数よりも今年は47個増えたので、
　2（ｎ+1）-1＝47
　　　　　　　ｎ＝23
　去年は一辺に23個植えたので、全部で23＾2＝529個植えたことになる。

asuncion · Answer

この問題の理屈がわかれば、
1から、ある奇数までの和が、
その奇数に1を足してから
2で割った数の平方である
ことに気づくかもしれません。

asuncion · Answer

47個の内訳を考える。
23 + 23 + 1
∴23 × 23 = 529

47という大きい数の代わりに
5とか7とかの場合の絵を
書いてみるとよいでしょう。

mshr1962 · Answer

正方形の配列ですから
2×２、3×３というようになります。
去年植えた時の縦横の数をXとすると

(X+1)^2-X^2=47

という式ができます。これを展開すると

X^2+2X+1-X^2=47

2X+1=47

X=23

となり

X^2=23×23=529

となります。

算数の問題 キャベツ

今年の個数をx、昨年の個数をyとすると、

なぜ、一つだけ大きくしたことが分かるか、という問いに答えます。

No.4です。

○ ● ◎は昨年の植え付け １個

No.1です。

わかりやすいように、まず５個×５個で25個並べたと考えてみましょう。

正方形の配列で植えるから。

この回答への補足

この問題の理屈がわかれば、

47個の内訳を考える。

正方形の配列ですから

この回答への補足

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　No.4です。

○　●　　◎は昨年の植え付け　１個

　正方形の配列で植えるから。