標準正規分布、確率変数、変数変換

Y,Zが独立で標準正規分布にそれぞれ従っている時に
X = 1/2 (Y^2+Z^2+2YZ)
で定義された確率変数Xはどのような分布に従いますか？

平均と分散ならすぐに出せますけど分布はどうなりますか？

No.3 回答者： reiman 回答日時： 2014/01/22 08:30

(Y+Z)/√2の密度関数を経由する方法は以下の通り

Y,Z:標準正規分布の確率変数
p(y)≡exp(-y^2/2)/√(2π):Y,Zの密度関数
q(x):X≡(Y^2+Z^2+2YZ)/2=(Y+Z)^2/2の密度関数
r(u):U≡(Y+Z)/√2の密度関数
とする

r(u)=∫∫dydz・δ(u-(y+z)/√2)p(y)p(z)
=√2∫∫dydz・δ((y+z)-√2u)p(y)p(z)
=√2∫∫dyds・δ(s-√2u)p(y)p(s-y)
=√2∫dy・p(y)p(√2u-y)
=√2∫dy・exp(-(y^2+(√2u-y)^2)/2)/(2π)
=√2exp(-u^2/2)/(2π)∫exp(-(y-u/√2)^2)dy
=√2exp(-u^2/2)/(2π)∫exp(-y^2)dy
=exp(-u^2/2)/√(2π)∫exp(-y^2/2)/√(2π)dy
=exp(-u^2/2)/√(2π)∫p(y)dy
=exp(-u^2/2)/√(2π)
=p(u)

X=(Y+Z)^2/2=U^2の密度関数q(x)は
x<0でq(x)=0
0<xで
q(x)=∫δ(x-u^2)r(u)du
=∫[0→∞]δ(x-u^2)r(u)du+∫[-∞→0]δ(x-u^2)r(u)du
=∫[0→∞]δ(x-u^2)r(u)du+∫[0→∞]δ(x-u^2)r(-u)du
=2∫[0→∞]δ(x-u^2)r(u)du
=∫[0→∞]δ(s-x)r(√s)ds/√s
=r(√x)/√x
=p(√x)/√x
=exp(-x/2)/√(2πx)

この回答への補足

親切にありがとうございます。
結論から言うと自由度１のカイ二乗分布になるということでしょうか？
こんなに綺麗になるものなんですね。とてもシンプルな問題だったので上手に計算をすれば、すぐに解ってしまう問題かと考えていました。式のほうはあとでゆっくり追わせて頂きます。
私は統計学を習い始めて日が浅いのですが今回の問題だと畳み込みを使うのがやはりいちばん良いですか？
他の解き方があれば是非、教えていただきたいです。よろしくお願いします。

補足日時：2014/01/22 16:11

No.2 回答者： reiman 回答日時： 2014/01/20 10:33

p(x)≡exp(-x^2/2)/√(2π)

∫p(u)p(x-u)du
=∫exp(-u^2/2-(u-x)^2/2)du/(2π)
=∫exp(-(2u^2+x^2-2ux)/2)du/(2π)
=∫exp(-(u-x/2)^2-x^2/4)du/(2π)
=∫exp(-(u-x/2)^2)du・exp(-x^2/4)/(2π)
=∫exp(-u^2)du・exp(-x^2/4)/(2π)
=∫exp(-(√2u)^2/2)d(√2u)/√(2π)・exp(-x^2/4)/(2√π)
=∫exp(-(v)^2/2)dv/√(2π)・exp(-x^2/4)/(2√π)
=∫p(v)dv・exp(-x^2/4)/(2√π)
=exp(-x^2/4)/(2√π)
=p(x/√2)/√2

X≡(Y^2+Z^2+2YZ)/2=(Y+Z)^2/2の確率密度をq(x)とする。
x<0でq(x)=0
0<xで
q(x)=∫∫dydz・δ(x-(y+z)^2/2)p(y)p(z)
=2∫∫dydz・δ((y+z)^2-2x)p(y)p(z)
=2∫∫dydu・δ(u^2-2x)p(y)p(u-y)
=2∫dy∫[0→∞]ds・δ(s-2x)p(y)p(√s-y)/(2√s)
-2∫dy∫[∞→0]ds・δ(s-2x)p(y)p(-√s-y)/(2√s)
=∫dy∫[0→∞]ds・δ(s-2x)p(y)p(√s-y)/√s
+∫dy∫[0→∞]ds・δ(s-2x)p(y)p(√s+y)/√s
=∫dy・p(y)(p(√(2x)-y)+p(√(2x)+y))/√(2x)
=√(2/x)∫dy・p(y)p(√(2x)-y)
=p(√x)/√x
=exp(-x/2)/√(2πx)

計算ミスがあるかもしれないの悪しからず。
T≡Y+Zは正規分布になるのでその確率密度を経由すれば計算は簡単化される。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2014/01/20 00:44

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%82%A4% …