標準正規分布とt分布の認識はこれで合っていますか？

標準正規分布はある値以上になる確率を表し、t分布は母分散からの標本平均の距離を表す、という認識で会っていますか？

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2023/05/08 12:32

No.2 です。

標準正規分布と t分布の違いは、下記のようなサイトを見てください。
単に「分布の形が違う」というだけであって、「何かが分布する」という意味では同じようなものです。
↓
https://bellcurve.jp/statistics/course/8968.html
https://unit.aist.go.jp/mcml/rg-orgp/uncertainty …

その「何かが分布する」の「何か」の違いは、＃2 に書いたとおりです。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2023/05/07 21:11

違います。

「正規分布」は、ランダムな事象がとる「理論的な」分布です。
「分布」全体を「１」とすれば、それぞれの「分布の一部」の「全体との比率」は「確率」に相当します。つまり「確率分布」になります。

それは別に「正規分布」や「標準正規分布」に限った話ではありません。
「二項分布」だろうが「ｔ分布」だろうが、分布全体を「１」とすれば「確率分布」になります。

一般に、「ランダム」に起こる事象で、構成要素が非常に多数の場合の分布は「正規分布」に従い、そこから限られたサイズの「サンプル（標本）」を採取したときに、その「サンプル平均」の分布は「ｔ分布」に従います。

たとえば、日本の成人男性の「身長」の分布はほぼ「正規分布」に従いますが、その「平均」や「標準偏差」が不明のときに、そこから「30人」とか「100人」をピックアップしたときの「30人の平均身長」「100人の平均身長」は「ｔ分布」に従います。
たくさんの「30人」や「100人」のサンプルを採ってきたときに、その「サンプル平均」がバラつく分布ということです。

それぞれの分布は、「何の分布か」ということを考えないと意味がありません。

＞t分布は母分散からの標本平均の距離を表す

いいえ、未知の「母集団の平均」を推定するときに使います。
母平均も母分散（母標準偏差）も未知だから、サンプルデータから得られた「t分布」を使って、母平均を推定するのです。

「t分布」は、ギネスビールの社員が「わずかなサンプル」から「ビール全体の出来具合」を精度よく推定するために考え出した分布です。

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2023/05/07 20:33

そりゃちょいと違いますね。

　標準正規分布は確率密度関数がx∈(-∞,∞)で定義され、
　　1/((√(2π))e^((x^2)/2)
である分布。
　t分布（自由度n）は確率密度関数がx∈(-∞,∞)で定義され、
　　1/((√π)B(1/2, n/2) ((1+(x^2)/n)^((n+1)/2)))
である分布（ただしBはベータ関数）。
　単にそれだけです。すなわち、標準正規分布やt分布それ自体が特定の意味を持っているというわけではない。

　で、いろんな確率過程において、またいろんな確率変数を組み合わせて作った確率変数に関して、あるいはいろんな分布の極限として、これらの分布が現れることがある。たとえば、二項分布に従う確率変数rについて、サンプル数をN、その平均をm, 標準偏差をσとすると、N→∞の極限で、確率変数x=(r-m)/σ は標準正規分布に従う。 平均m分散σ^2の正規分布に従う母集団からサンプル数nのサンプルをランダムに選んで、その平均をM、分散をS^2とすると、確率変数y = ((M - m)^2)n/S^2 は自由度(n-1)のt分布に従う。他にもいろんな関係があります。