いすの問題

1年生全体が椅子に座るのに、１脚に５人ずつ座っていくと１２人が座れません。
１脚に９人ずつ座っていくとだれもかけていないいすが６脚残ります。１年生全体の人数として
考えられるもののうちの最大の人数をもとめなさい。

答えは102人です。
考え方がわかりません。教えてください。よろしくお願いします。

No.2 回答者： -Ken-Ken- 回答日時： 2014/04/26 06:18

まず椅子が何脚あるか考えてみよう。

目の付け所の一つは「変わらない量」に注目してみることだよ。
5人で座った場合も、9人で座った場合も、椅子の数は変わらないだろう？
生徒の数も変わらない量だけど、これが問題になっているんだから、別の量をまず考えてみるの。

まず5人ずつ座ったら、椅子が全部埋まったわけだ。
これをしたら9人ずつにしたら、あまった12人も座ることができて、6脚+0人〰8人人分の空席ができた。
5人ずつ座った時に余った12人を除いて考えると、5人ずつ座った時の椅子の数の対して、6脚+12人〰20人分の空席ができたことになる。
いくつ椅子があるのかしらないけど、5/9に圧縮したら、圧縮してできた4/9の空白が66〰74人分に相当することがわかったわけ。

ってことは、9人掛けで考えた場合、椅子の数は66÷4/9人 〰 74÷4/9人分ある。
148.5〰166.5人分。
つまり、16.5〰18.5脚椅子があるわけだ。
椅子の数は当然整数だから、17脚か18脚。

問題文に戻って、5人ずつ座ると12余るんだろ？
つまり、生徒の数は17×5+12 か 18×5+12。
大きいほうをとることになっているから 18×5+12 = 102人。

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2014/04/28 18:45

No.1 ベストアンサー 回答者： bgm38489 回答日時： 2014/04/26 00:04

椅子がｘ脚あるとしよう。

全体の人数を表すとどうなるか。
５人ずつ座っていくと、１２人余るわけだから、５X+１２人。９人ずつ座っていくと、椅子が６脚余るわけだから、９（X－６)人…とはいかない。全ての椅子に９人座るわけではないから、最後の一つには１人掛けているか、９人掛けているか。
ゆえに、二つの不等式ができる。

９（X－７）＋１＜５Ｘ＋１２
全員座っている椅子はＸ－７脚、残りの一つに最低一人座る、と考えた式。
５Ｘ＋１２＜９（Ｘ－６）
６脚を除いて、全員座っていると考えたとき。

別につなげて書いてもいいけど。

一つ目の式より、４Ｘ＜７４、Ｘ＜１８．５
二つ目の式より、４Ｘ＞６６、Ｘ＞１６．５

１６．５＜Ｘ＜１８．５で、Ｘは整数値だから、最大のＸは１８。人数が最大なら、椅子の数も最大の条件でよい。
５人ずつ座っていくと…に従えば、５＊１８＋１２で１０２人。１０２人なら、９人ずつ座って、誰もかけていない椅子が何脚残るか、検討してみてください。

誰もかけていない椅子が、というのがポイントでした。最後の一つの椅子には、１人掛けても９人掛けても…ということで、不等式ができるのです。

この回答への補足

ご回答ありがとうございました。
方程式を使わない解法はありますか？

補足日時：2014/04/28 18:21