数学の質問です。

ジョルダン測度Jが完全加法性の性質を持たないようなものを例をあげて説明してもらいたいです。
お願いします。

No.1 回答者： superkeroyon 回答日時： 2014/06/11 01:36

Φをbanach limit, すなわち次を満たすl＿∞上の連続線形関数とする：

Φ(ax+by)=aΦ(x)+bΦ(y)(線形性)
すべてのnに対してx_n>=0をみたすl＿∞の任意の元に対し、Φ(x)>=0
添数をひとつずらす操作Sに対してΦ(x)＝Φ(S(x))
収束するx=(x_n)nに対してはΦ(x)=limit x(Φは極限の拡張)

Jordan測度Jを次のように定義する：
実数のルベーグ可測集合を考え、λをルベーグ測度とする。
実数のルベーグ可測集合Aに対して
J(A)=Φ(z(A)),ここでz(A)はl＿∞の元として
各kに対しz_k=k・λ(Aと(0,1/k)との交わり)
と定義する。

交わりが空なルベーグ可測集合A、Bに対して、z(AとBの和集合)=z(A)+z(B)となること（λがルベーグ測度より）と、Φの線形性から
Φ(z(AとBの和集合))=Φ(z(A))+Φ(z(B))、すなわちJが有限加法性を満たす。

各自然数nに対し、集合A_n=[1/(n+1),1/n)とすると、z(A_n)は0へ収束することと、Φは極限の拡張であるので、
J(A_n)=0.

しかし、A_nの和集合(0,1)ではJ((0,1))=1。
よって完全加法性を満たさない。