下記の問題がよくわかりません。
箱Aに白玉4個と赤玉5個、箱Bに白玉3個と赤玉2個と青玉7個が入っている。まず、さいころを投げて1,2,3,6がでたら箱Aを、それ以外が出たら箱Bを選び、次にその箱の中から玉を1個取り出すものとする。取り出された玉の色が白であったとき、それが箱Bから取り出された確率を求めなさい。
まず、箱Bになる確率が2/6、箱Bの中から白を取り出すのが3/12なので、2/6*3/12 = 1/12ではないでしょうか。
箱がAかBか分からないときは、白玉を取る確率をP(w)、箱Aを取る確率をP(A)とすると、
Pw(A) = P(Aかつw) / P(A)
の公式を使って解くことになると思いますが。よろしくお願いします。
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
悩みはよーくわかりますよ。
でも、確率というのは、
例えば、52枚のトランプの中から
(1)スペードの13枚だけを選んで(13/52)、
その後その13枚の中からエースを選んで(1/13)も、
(2)エースの4枚だけを選んで(4/52)、
その後その4枚の中からスペードを選んで(1/4)も、
(13/52)x(1/13)=(1/52)
(4/52)x(1/4)=(1/52)
いきなり最初からスペードのエースを狙い打ちしても(1/52)
まあ言い訳じゃないですけどちょっと眠たいんで、
確率でないことを確率っぽく言ってることに今反省しながら書いていますけど、
どんな経路をたどっても、考え方さえ正しければ計算結果は同じ
ということだけは伝わることを祈っています。
それに、掛け算というのは、
(13/52)x(1/13) も (1/13)x(13/52) も 計算結果は同じです。
というわけで、
ABを選んでから、白赤青(4:5:0または3:2:7)を選んでも、
白赤青(4:5:0または3:2:7)を選んでから、ABを選んでも(?)
計算的には変わらないのです。
だからと言って、問題を解く時に
「まず白赤青4:5:0の中から白を選んで」 と考え始めたらダメ!
ですよ。あくまでロジックの話をしています。
えっとですね。
一種の逆算というか、さかのぼりですよ。場合の数で樹形図を時々描くでしょう。あれを、
幹 → 枝 → 葉 ではなく
葉 → 枝 → 幹 という逆順でおおもとをたどるのです。
白が出た、という事実そのものは変わりません。
でも、原因調査をすると、
A経路で白が出たのか、
B経路で白が出たのか、
その2つ以外のケース以外は考えられない、となるのです。
となると、
白が出たことはわかっているもとで、それがB経路だった確率 というものも机上では計算できるのですよ。
メンデルの遺伝で、
父Ao と 母Ao から 子Ao が生まれたときに、このoは父からもらったのか母からもらったのか、と考えるのと似ています。
oをもらったのは紛れもない事実で、どうやってoを受け取ったのか、を考えると2通り考えられるから、父からもらった確率は2分の1、という理屈です。だいぶ端折りましたけど。
No.4
- 回答日時:
>箱Aが選ばれる確率P(A)=4/6=2/3
箱Bが選ばれる確率P(B)=1-2/3=1/3
箱Aから白玉が取り出される確率P(白|A)=4/9
箱Bから白玉が取り出される確率P(白|B)=3/5
箱Aが選ばれて白玉が取り出される確率=P(A)*P(白|A)
箱Bが選ばれて白玉が取り出される確率=P(B)*P(白|B)
白玉が取り出されて、それが箱Bからの事後確率P(B|白)は、
ベイズの定理により、
P(B|白)=P(B)*P(白|B)/{P(B)*P(白|B)+P(A)*P(白|A)}
=(1/3)*(3/5)/{(1/3)*(3/5)+(2/3)*(4/9)}=27/67・・・答
No.2
- 回答日時:
> しかし、この問題では、サイコロを振って4か5がでた場合は箱Bが決まります。
そこから白玉を取り出すので、1/12ではないでしょうか。そこは誤解ですね。
例えば緑玉と黄玉の上からスプレーかチョークで白色を塗ったとすると、白い玉は7個になって、区別がつかないわけです。
で、問題文の読み方が誤解を誘ったのかも知れないけど、
> 取り出された玉の色が白であったとき、
と書いてあるのは、
「さいころを振って箱を選ぶところから含めて」白が出る確率
です。
Aの箱を選んで白玉(緑)が出る確率と、
Bの箱を選んで白玉(黄)が出る確率の、合計
です。
Aの箱が選ばれるのとBの箱が選ばれるのは排反ですから、足し算になるのはわかりますね。
P(w)=P(A)xPa(w) + P(B)xPb(w)
=P(A∩w) + P(B∩w)
=16/54+6/72=41/108
ここに、
Pa(w)は Aが起きた(Aの箱が選ばれた)もとで wが起きる(白玉が選ばれる)条件付き確率
すなわち、4/9
Pb(w)は Bが起きた(Bの箱が選ばれた)もとで wが起きる(白玉が選ばれる)条件付き確率
すなわち、3/12
です。白玉が出る確率が、このような日本語で表現されることを、よく考えてください。
ちなみに、
P(A)=4/6
P(B)=2/6
なので
P(A∩w)=P(A)xPa(w)=4/6 x 4/9
P(B∩w)=P(B)xPb(w)=2/6 x 3/12
(A∩wは、Aかつw の意味)
> 箱がAかBか分からないときは、白玉を取る確率をP(w)、箱Aを取る確率をP(A)とすると、
> Pw(A) = P(Aかつw) / P(A)
> の公式を使って解くことになると思いますが。よろしくお願いします。
ここで、なぜAに注目しているのですか?
> 白であったとき、それが 「箱B」 から取り出された確率を求めなさい。
と書いているでしょう?
P(B∩w)=P(B)xPb(w)
Pb(w)=P(B∩w)/P(B)
ですよ。
で、時間的に逆(本来は、白(緑か黄)が出てからBを選ぶのではない)ですが、計算上は
Pw(B)=P(B∩w)/P(w)
P(B∩w)=P(w)xPw(B)
とも書けます。
しかしこの場合に、P(w) がわからないといけません。
(Aが選ばれたにせよ、Bが選ばれたにせよ、結果が白である確率)
だから上のように求めました。
P(B∩w)=P(B)xPb(w)
P(B∩w)=P(w)xPw(B)
と両方書けることがポイントです。
で、選ばれた白玉を爪でこすって下地を見たら、緑か黄かがわかる、という仕組みです。
16/54 で 緑が出て、
6/72 で 黄が出るなら、
緑か黄が出る確率は 41/108 ですが、
緑か黄が出たもとで(白が出たもとで)黄が出ていた確率は
(6/72)/(41/108) です。
Y/(X+Y)、黄/(緑+黄) という形の式です。
この回答への補足
QoooLさま
有難うございます。
>> 箱がAかBか分からないときは、白玉を取る確率をP(w)、箱Aを取る確率をP(A)とすると、
>> Pw(A) = P(Aかつw) / P(A)
>> の公式を使って解くことになると思いますが。
誤解を生んでしまいました。これは、一般的な公式を書いたつもりでした。wとかAには意味はありません。スミマセン。
>で、時間的に逆(本来は、白(緑か黄)が出てからBを選ぶので>はない)ですが、計算上は
気になっているところが、まさにここです。
Aから取ったかBから取ったか分からないときは、おっしゃられる通りの公式を使います。しかし、サイコロを振ってBに決定している後なので公式Pw(B)=P(B∩w)/P(w)は使えないのではないでしょうか。
問題集を何冊か読みましたが、いずれも箱AかBかわからない前提での問題でした。従って、公式を適用して解いていました。
何度もスミマセン。
No.1
- 回答日時:
> まず、箱Bになる確率が2/6、箱Bの中から白を取り出すのが3/12なので、2/6*3/12 = 1/12ではないでしょうか。
答えはそれでは不充分です。
説明のために、問題を少し作り変えましょう。
箱Aに入っている白玉を 緑玉、
箱Bに入っている白玉を 黄玉
と呼ぶことにします。
~から玉を1個取り出すものとする。取り出された玉の色が白であったとき、それが箱Bから取り出された確率を求めなさい。
↓
~から玉を1個取り出すものとする。取り出された玉の色が緑か黄であったとき、それが黄である確率を求めなさい。
箱Bになる確率が2/6、箱Bの中から黄を取り出すのが3/12なので、
2/6*3/12 = 1/12
です。考え方は良いです。
箱Aになる確率が4/6、箱Aの中から緑を取り出すのが4/9なので、
4/6*4/9 = 16/54 (私はあまり約分しません。どうせ通分することが多いから。)
です。
ちなみに、求める必要ないですけど
箱Aになる確率が4/6、箱Aの中から赤を取り出すのが5/9なので、
A赤 4/6*5/9 = 20/54
箱Bになる確率が2/6、箱Bの中から赤を取り出すのが2/12なので、
B赤 2/6*2/12 = 4/72
箱Bになる確率が2/6、箱Bの中から赤を取り出すのが7/12なので、
B赤 2/6*7/12 = 14/72
A緑 4/6*4/9 = 16/54
B黄 2/6*3/12 = 6/72
と合わせると、
16/54+20/54=36/54=2/3
6/72+4/72+14/72=24/72=1/3
16/54+20/54+6/72+4/72+14/72=1
です。。
緑か黄
P(w)=16/54+1/12=41/108
黄
P(Bかつw) =1/12
求める確率の分母は、
P(Aかつw) と P(Bかつw) の両方 (つまりP(w)、これ以外にwは起こらない ★)
分子は
P(Bかつw)
(1/12)/(41/108)=9/41
これが答えです。
後は頭の中で、緑や黄を白に戻してください。
条件付き確率だ、ということは合っていますよ。★の部分をよく考えてください。
この回答への補足
QoooLさま
早速、レス有難うございます。
箱がAかBか分からないときは、白玉を取る確率をP(w)、箱Aを取る確率をP(A)とすると、
Pw(A) = P(Aかつw) / P(A)
の公式を使って解くことになると思いますが。
よく問題集に「でたらめに箱を選んで、玉を取り出したら、白だったときにそれが箱Bのものである確率を求めなさい」とあります。目隠しをして玉を取り出したら、白だった。という時は、どちらの箱か分からないので、「箱Bである確率を求めなさい」という場合に、上の公式を使うのではないでしょうか。
しかし、この問題では、サイコロを振って4か5がでた場合は箱Bが決まります。そこから白玉を取り出すので、1/12ではないでしょうか。
度々、すみませんがよろしくお願いします。
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