y=x^xの微分

y=x^x　の微分は両辺の自然対数をとって

logy=xlogx

ここで両辺をｘで微分して、

d(logy)/dx=y'/y

という変形になるそうですが、右辺がなぜこのようになるのかがわかりませんので、
教えてください。

No.3 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2014/07/12 03:37

y=x^xの微分という前フリは全く関係なく、

d(logy)/dx=y'/y
です。

d(logy)/dx
={d(logy)/dy}{dy/dx}
=y'/y

高校数学です。

No.2 回答者： info222_ 回答日時： 2014/06/28 06:49

>logy=xlogx

>ここで両辺をｘで微分して、

>d(logy)/dx=y'/y

>という変形になるそうですが、右辺がなぜこのようになるのかがわかりません

xで微分するということは
左辺がxの関数ということ。
つまりyがxの関数(y=f(x)=x^x）なので
log(y)もxの関数log(f(x))ということです。

d(log(y))/dx=d(log(f(x))/dx
=(1/f(x))*df(x)/dx ←合成関数の微分公式
=(1/y)*y'
=y'/y=右辺

おわかり？

問題全体では
　y=x^x
指数関数x^xの基数xの条件よりx>0, y>0
(x→0のときy→0^0=1)
y>0より両辺の対数をとって
　ｌogy=xlogx ←両辺をxで微分
　y'/y=1*logx+x*(1/x)=1+logx ← 合成関数の微分方式
　y'=(1+logx)y ← 両辺にyを掛ける
　　=(1+logx)*x^x　← y=x^xを代入

∴ dy/dx=(1+logx)*x^x　(x>0)

No.1 回答者： tetra_o 回答日時： 2014/06/28 01:04

d(logy)/dx

=d(logy)/dy * dy/dx
=1/y * y'
=y'/y

ということです。