この問題教えてください

x＋2y＝6,x≧0,y≧0のとき、次の最大値と最小値を求めよ。
(1)xy
(2)xの二乗＋2yの二乗

問題集(サクシード)の問題なのですが自分では解けませんでした
どなたか解答、解説よろしくお願いします

No.2 回答者： spring135 回答日時： 2014/07/07 00:01

x＋2y＝6,x≧0,y≧0

のグラフは書けましたか。要するに直線x＋2y＝6の0≦x≦6の範囲の点(x,y)について

(1)xy,(2)x^2+2y^2を計算し、その最大最小を選べばよいのであって、

掛け算及び2乗の計算ができれば答えは出るはずです。

具体的にはxを0.1刻みで0~6の間を分割しxの各値に対してx＋2y＝6,すなわちy=-(x-6)/2を計算し、

各x,yに対して(1)xy,(2)x^2+2y^2を計算し、その最大最小を選べばよい。

このような試みは数学感を養うのに非常に有効です。


問題演習的には

0≦x≦6を意識しながらy=-(x-6)/2によって

(1)P=xy=-x(x-6)/2=-[(x-3)^2-9]/2=9/2-(x-3)^2/2

x=3で最大値9/2,x=0または6で最小値0


(2)Q=x^2+2y^2=x^2+2((x-6)/2)^2=(3/2)[(x-2)^2+8]

x=2で最小値12,x=6で最大値36

No.1 回答者： info222_ 回答日時： 2014/07/06 23:41

x＋2y＝6 …(A)

x≧0,y≧0 …(B)

(A)のx,yを(B)に代入することにより
0≦x≦6, 0≦y≦3　…(C)

(1)
(A)より　x=6-2yなので
　xy=(6-2y)y=-2(y^2-3y)=-2(y^2-3y+(3/2)^2-(9/4))
　　=-2(y-(3/2))^2+(9/2)
　　=f(y)とおく。
f(y)は上に凸の放物線だから
　軸x=3/2は(C)の範囲に入るので
　f(y)（０≦y≦3)は
　y=3/2,x=3のとき、最大値f(3/2)=9/2をとる。
　y=0,x=6 または y=3,x=0のとき、最小値f(0)=f(3)=0 をとる。

(2)
x^2+2y^2=(6-2y)^2+2y^2
　=6(y^2-4y+6)
　=6(y-2)^2+12
　=f(y)とおく。
f(y)は下に凸の放物線だから
　軸がy=2で(C)の範囲に入るから、
　f(y)（０≦y≦3)は
　y=2,x=2のとき、最小値f(2)=12をとる。
　y=0,x=6のとき、最大値f(0）=36 をとる。