F(s) = exp(-k*√s)/s^2 の逆ラプラス変換について手順も含めご教示ください。
上式の逆ラプラス変換を解くため、
以下の公式を使用して解けないか模索していますがうまくいきません。
下記以外の公式による方法でもよいですが、その場合は公式についてもご教示ください。
よろしくお願いいたします。
L^(-1)[exp(-k√s)/s]=erfc( k/(2√t) )
F(s)/s=L[∫_{0→t} f(t) dt]
を使ってできないか試みてますが、
余誤差関数erfc()または,公式erfc(y)=1-erf(y)で変換した誤差関数の積分が出来ずに躓きました。
No.1
- 回答日時:
最後は指数関数の積分と云う形に成り、積分できずに終わるようです。
参考までに、計算例です
F(s) = exp(-k*√s)/s^2 (1)
L^(-1)[ exp(-k√s)/s]=(1/√(πt))*exp(-k^2/(4t)) (2)
(1)式より s F(s) – f(0) = exp(-k*√s)/s – f(0)
逆変換の公式(2)より
L^(-1)[sF(s)-f(0)]= df(t)/dt
L^(-1)[exp(-k√s)/s – f(0)]=(1/√(πt))*exp(-k^2/(4t))– f(0)δ(t)
よって」
df(t)/dt = 1/√(πt))*exp(-k^2/(4t)) – f(0)δ(t)
f(t) =∫ exp(-k’/t)/ √t)dt/√π - f(0)
ここにk’=(k/2)^2
積分範囲0~t
ご回答いただきありがとうございます。嬉しいです。
ラプラス変換の微分公式を使う手があったんですね。勉強になります。
小生理解不足で申し訳ありません。
上の(2)式について教えてください。
小生質問に記載したL^(-1)[exp(-k√s)/s]=erfc( k/(2√t) )ではなく
L^(-1)[ exp(-k√s)/s]=(1/√(πt))*exp(-k^2/(4t))
となるのはなぜなのかご教示頂ければ嬉しいです。
よろしくお願いいたします。
No.2
- 回答日時:
早速のご回答を頂きありがとうございます。
この公式は、どのように導き出したかご存知でしょうか。
導き出し方をご教示頂けないでしょうか。
非常にすっきりした形であり、小生が示した公式のように特殊関数を使用しないで済むので助かります。
小生が質問欄に記載した公式は以下のリンクにあるものです。
自分自身でもそうなることを確認済みですが、そうすると。
(1/√(πt))*exp(-k^2/(4t))=erfc( k/(2√t) )
が成り立つことになるのですが、これはどのように証明できるのでしょうか。
www.rinku.zaq.ne.jp/bkdit405/buturi/apma1.pdf
このファイルのP26
www.ep.sci.hokudai.ac.jp/~yamasita/inverse-Laplace.pdf
このファイルの21式
No.4ベストアンサー
- 回答日時:
F(s) = exp(-k*√s)/s^2において
合成積の公式を用いると・・・、
g(s)の逆ラプラス変換をinvL{g(s)}で表し、G(t)をg(s)の原関数とすれば
inv{g(s)/s^2} = ∫[0→t]∫[0→τ]{G(p)}dpdτ
= t・∫[0→t]{G(τ)}dτ-∫[0→t]{τG(τ)}dτ
・・・と表せる。
invL{exp(-k*√s)/s^2}
= t・∫[0→t]{(k/2(√(πτ^3)))exp(-k^2/4τ)}dτ-∫[0→t]{(kτ/2(√(πτ^3)))exp(-k^2/4τ)}dτ
= t・∫[0→t]{(k/2(√(πτ^3)))exp(-k^2/4τ)}dτ-∫[0→t]{(k/2(√(πτ)))exp(-k^2/4τ)}dτ
∫[0→t]{(k/2(√(πτ^3)))exp(-k^2/4τ)}dτでk/2√τ = xとでも置くと一項目の積分は
(2t/√π)・∫(∞→k/2√t]{exp(-x^2)}dx = (2t/√π)・erfc(k/2√t)
2項目の積分は部分積分の計算から
(k^2/2√π)・∫(∞→k/2√t]{exp(-x^2)/x^2}dx
= (k^2/2√π)・{(2√t/k)・exp(-k^2/4t)-2erfc(k/2√t)}
よって
invL{exp(-k*√s)/s^2}
= (2t/√π)・erfc(k/2√t)-(k^2/2√π)・{(2√t/k)・exp(-k^2/4t)-2erfc(k/2√t))
= (2t/√π)・erfc(k/2√t)+(2k^2/√π)erfc(k/2√t)-(k√(t/π))・exp(-k^2/4t)
・・・となった。(計算ミスが無ければ!?)
invL{exp(-k*√s)} = (k/2(√(πt^3)))・exp(-k^2/4t)を用いた
ありがとうございます。
導出方法が分かりました。助かります。
答えは、Wolfram aphaで計算すると以下のようになります。
http://www.wolframalpha.com/input/?i=InverseLapl …
ご教示頂いた式では余誤差関数の定義より
(2t/√π)・∫(∞→k/2√t]{exp(-x^2)}dx
= t・{(2/√π)・∫(∞→k/2√t]{exp(-x^2)}dx }=t・erfc(k/2√t)
のみ修正するとWolfram aphaと全く同じになります。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 dx/dt=x-2y +e^t dy/dt=-3x +2y+1 初期値[1,0] [x,y] この連 3 2023/05/15 18:23
- 数学 ラプラス変換について 3 2022/10/13 22:18
- 数学 逆ラプラス変換について ラプラス変換表を用いて以下の関数を逆ラプラス変換したいのですが、ラプラス変換 7 2022/04/30 17:37
- 数学 離散フーリエ逆変換が周波数分割数をNにできる理由について 4 2022/09/18 12:56
- 数学 dx(t)/dt =rx(t){1-(x(t)/K)} r,Kは正の定数とすると、この微分方程式はラ 1 2022/08/11 16:25
- 数学 ラプラス変換 4 2023/04/20 00:07
- 物理学 量子力学 球面調和関数 導出 方位角成分 微分方程式の解 2 2022/07/02 13:40
- 数学 数学の質問です。 関数f(t)のフーリエ変換をF(ω)=∫[-∞→∞]f(t)exp(-iωt)dt 1 2023/07/29 01:08
- 数学 ラプラス変換について 1 2022/06/28 22:26
- 工学 【制御工学】単位ステップ応答の遅れ時間の求め方(令和2年度の機械設計技術者試験(制御工学)の問題) 3 2022/11/02 10:51
このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています
おすすめ情報
このQ&Aを見た人がよく見るQ&A
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
積分で1/x^2 はどうなるのでし...
-
e^-2xの積分
-
1/X^2の積分ってlogX^2ですか?
-
∫1/√x dx 積分せよ 教えて下さい
-
∫1/(x^2+1)^2 の不定積分がわ...
-
項の右端につく縦棒の意味を教...
-
微積分 dの意味
-
フーリエ級数の問題で、f(x)は...
-
積分 Xの-2乗を積分するとどう...
-
∫e^cos(x) dx の計算
-
dy/dx=-x/yの意味が解りません
-
自励系のリッカチ方程式 dy/dt ...
-
これはわかる
-
確率密度関数をf(x)=1-|x-1|と...
-
媒介変数の積分ってなぜあのよ...
-
【数学Ⅱ・Ⅲ】微分の問題
-
x−1分の2の微分の仕方を教えて...
-
x=t これを両辺微分してください。
-
数学のこの解説をお願いします ...
-
微分の記号
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
積分で1/x^2 はどうなるのでし...
-
e^-2xの積分
-
フーリエ級数の問題で、f(x)は...
-
∫1/(x^2+1)^2 の不定積分がわ...
-
積分 Xの-2乗を積分するとどう...
-
∫1/√x dx 積分せよ 教えて下さい
-
項の右端につく縦棒の意味を教...
-
1/X^2の積分ってlogX^2ですか?
-
何が違いますか?
-
微積分 dの意味
-
∫e^cos(x) dx の計算
-
【数学Ⅱ・Ⅲ】微分の問題
-
2次微分の変数変換
-
x/(a^2+x^2)の積分について
-
exp(-ax^2)*cosx の証明
-
∫r/(a^2+r^2)^3/2drの計算の解...
-
x^2 * exp(x^2) dxの不定積分
-
x−1分の2の微分の仕方を教えて...
-
フーリエ変換の問題について
-
台形の任意の高さにおける上辺...
おすすめ情報