高校物理、コンデンサー、スイッチの入れ替え

Question

下の図でスイッチをaにいれ、ｂに切り替えという過程を繰り返すと、ｃ２の電圧はどうなるか？
スイッチをaにいれるたびに、電池に繋がれたｃ１間の（上の部分と下の部分の)電圧はvになる。一方、ｂの電圧はｖよりも低く（つまり、ｃ２の上側の方がｃ１の上側より電位が低い）、ｃ１の正電荷が右に移動しｃ２の電圧を上げ、ｃ１、ｃ２の電圧は等しくなる。とあるのですが、ｃ１の負電荷がｃ２へと移動しないのは、スイッチがaにある段階で、電池の負極に繋がれた部分は電位が等しいから、c1の負電荷はｃ２へと動かない。スイッチがaにあるとき、c1および電池の正極で繋がった部分とｃ１および電池の負極につながった部分の電位差がｖになるという理解で正しいでしょうか?

Tann3 · Accepted Answer

No.2です。「補足コメント」に書かれたことについて。

＞つぎの考え方でどこがまずいのでしょうか?
＞スイッチがaにあるとき、電池の負極にはc1、ｃ２の下側が繋がっていますがこの部分は等電位です。
＞電池の正極にはｃ１の上側が繋がっていますがそこの部分も等電位です。２つの電位差が最終的にｖになるということがaにスイッチがある時に起こります。
＞つぎに、スイッチがｂにあるとき、スイッチをaに切り替える前のｃ２の上側の電位がｃ１の上側の電位より低いから移動するのですよね。一方、スイッチがｂに切り替わってもスイッチがaのとき電位が等しかったのだから、ｃ１の下側とc2の下側の電位は等しいのではないのでしょうか?
（ここまでが引用）

コンデンサの問題は、時間とともに電荷が移動する、という「動き」「過渡変化」を想像することが必要です。
　時間の流れの沿って、電荷や電位の動きを説明してみます。文章だと分かりづらいですが、図を書いてみて、ゆっくりと理解してみてください。

分かりやすくするため、電池のマイナス側の電位を「ゼロ」として考えます。電池のプラス側の電位は「Ｖ」ということになります。
　また、これまた分かりやすくするため、Ｃ１とＣ２の容量が等しい場合で考えます。

（１）スイッチが「ａ」のとき、コンデンサＣ１のプラス側（図の上側）は電位「Ｖ」、マイナス側は電位「ゼロ」になり、Ｃ１のプラス側に「正電荷」、マイナス側に「負電荷」が充電されます。
　マイナス側は、「負電荷」が充電されても、電位は「ゼロ」です。（基準をこう決めた、ということなので）

Ｃ１のマイナス側に接続されているＣ２のマイナス側（図の下側）は、Ｃ１のマイナス側と同じ電位「ゼロ」になっています。このとき、Ｃ２のプラス側（図の上側）は電源につながっていない状態で、Ｃ２には電荷がないので、Ｃ２のプラス側もマイナス側と同じ電位「ゼロ」です。（Ｃ２に電荷が充電されていると電位差が発生するので、電荷がないときには電位差ゼロ）

（２）次に、スイッチを「ｂ」にすると、Ｃ２のプラス側は、正電荷を充電しているＣ１に接続されて電位が急上昇し、正電荷が流れ込みます。それに引きずられられて、Ｃ２のマイナス側も一瞬「プラス電位」に持ち上げられ、Ｃ１のマイナス側の「ゼロ電位」との間に電位差ができ、これを解消するようにＣ２のマイナス側に「負電荷」が流れ込みます。
　最終的に、「正電荷」は（１）でＣ１に充電された正電荷がＣ１とＣ２に分散して落ち着きます（Ｃ１とＣ２の容量が等しければ、電位Ｖ／２で落ち着く）。マイナス側も、それに相当する「負電荷」がＣ１とＣ２に分散して、プラス側・マイナス側がつりあったところで落着きます。電位は「ゼロ」です。

（３）再びスイッチを「ａ」にしたときには、（２）でＣ１からＣ２に移動して減少した正電荷が、再び電池から充電されます。このとき、それに見合った「負電荷」も電池からＣ１のマイナス側に供給されます。電位は「ゼロ」のままです。
　Ｃ２のマイナス側には「負電荷」は供給されませんが、Ｃ１のマイナス側に接続されているので、これも「ゼロ電位」のままです。Ｃ１のプラス側は、電池に接続されて電位「Ｖ」になりますが、Ｃ２のプラス側は、切り離されているので（２）の電位「Ｖ／２」のままです。

（４）再びスイッチを「ｂ」にすると、Ｃ１のプラス側は電位「Ｖ」、Ｃ２のプラス側は電位「Ｖ／２」ですから、プラス側の電位は「３Ｖ／４」になり、Ｃ１からＣ２に正電荷が移動します。このとき、Ｃ２のプラス側の電位は、瞬間的に「Ｖ／２→３Ｖ／４」に上昇しますので、Ｃ２のマイナス側も一瞬「プラス電位」に持ち上げられ、Ｃ１のマイナス側の「ゼロ電位」との間に電位差ができ、これを解消するようにＣ２のマイナス側に「負電荷」が流れ込みます。（動作としては（２）と同じです）
　ということで、（２）と同様、正電荷、負電荷ともＣ１とＣ２に分散して、プラス側の電位は「３Ｖ／４」で落着きます。このときの電荷の総量は、（３）で追加充電された分、（２）よりも増えています。

（５）以降、これを繰り返します。

マイナス側（図の下側）はずっとつながったままで「電位ゼロ」ですが、プラス側（図の上側）はスイッチ位置によって電位が変わり、その接続が変わった瞬間にコンデンサのマイナス側の電位がそれに引っ張られてプラスになり、「電位ゼロ」との間に一瞬電位差が発生して電荷が移動する、という風に考えれば、理解しやすいと思います。

fxq11011 · Answer

理想のコンデンサー、導線の抵抗損失等を無視すれば、ともに電源と同じ電圧になります。
注　負電荷、または正電荷、電流の流れない静電気では考える必要がありますが、電流の流れる回路ではそれに匹敵する実態はありません。
最終結論としては、回路では電流が流れることで、すべてが釣り合うことになります。
＞c1の負電荷はｃ２へと動かない。
それで釣り合うのなら・・・、電源電圧、各部の電圧、電流、は抵抗、容量にしたがって、釣り合いを保つため、すべてが変動するのが普通です、動かない、はまず考えられません。

tknakamuri · Answer

なんとなく疑問点がわかってきました。負極側の電荷が、電位差がないのに
なぜ動くかという点ですよね。

C1 と C2 には異なる電圧を保持しているので、スイッチ B を入れた瞬間
閉回路が形成され、C1, C2 の電圧の差による電界が回路全体に発生します。

電圧は C1, C2 の内部抵抗やリード抵抗や導線のわずかな抵抗が受け止め、
発生した電位差に対応する電界が発生します。

導線内の電荷はこの電界で移動します。

つまり、C1, C2 の負極間にも導体の抵抗に応じた電位差は発生するということです。

tknakamuri · Answer

〉スイッチをｂにしたとき、
〉ｃ１の下側、ｃ２の下側は
〉等電位であるはずなのに、
〉ｃ１の負電荷がｃ２へと移動するのが不思議です。

不思議な理屈ですね。bがONのとき
共通の負極を基準に、正極の電位の高い方から
低い方へ、電荷が流れるわけですが、
なぜ流れないと考えるのでしょう。

そもそも電位というのは基準に対する
相対的なものなので、この問題では
共通の負極側を0Vとして、考えるのが
普通です。

コンデンサが電荷を移動させる「カ」はあくまで
正極と負極の電位の差=電位差です。

TXV12003 · Answer

初期状態では、C２は全く充電されていないという前提ですよね？

＞スイッチをｂにしたとき、ｃ１の下側、ｃ２の下側は等電位であるはずなのに、ｃ１の負電荷がｃ２へと移動するのが不思議です。
C1の上側とC２の上側に電位差がありますから、当然C1上側→C2上側へ電流が流れます。
この時、C1は放電され、C2は充電されます。C１とC2の上側の電極が同じ電位になると停止します。

◆添付画像について

実験してみました。
ただし、ご質問の回路のままでは、コンデンサに電源が抵抗無しで接続されていて危険なので
安全のため１００Ωの抵抗を入れていますのでご了承ください。

コンデンサC1とC2のそれぞれ両端にオシロスコープを繋ぎ、観察してみました。

緑のグラフが電圧、黄色が電流を表しています。
電源は＋１０Vとしており、

（１）スイッチを左へ入れた時に、左のグラフが変化します。この時C1が充電開始され電流が流れます。
　　C1が１０Vまで充電されると、電流が停止します。

（２）その後、スイッチを右へ入れると、左右のグラフとも変化します。
　　C1が放電開始、C2が充電開始され、電流が止まると、C1とC2の電圧が同じ（約５V）になっていることが分かると思います。

この後、スイッチを頻繁に両側にパチパチと切り替えると、C２は限りなく１０Vに近づいていきます。

実際には、それぞれのコンデンサは、漏れ電流があるため、時間とともに放電していきます。

tknakamuri · Answer

〉電池の負極ｃ１の下側、ｃ２の下側は繋がっていますが、そのときここの部分はすべて等電位ですよね?

導体で接続されているのですからいかなる時も同じです。

で、ここから何がいいたいのでしょう。

naniwacchi · Answer

こんばんわ。
体調はどうですか？無理はしないように。

コンデンサーの問題は結構わずらわしく感じるものが多いですよね。
ただ、原点に戻ってコンデンサーは「電荷をためるもの」と理解しておくと結構楽に考えることができます．

複数のコンデンサーがつながるときには、「宙に浮いた部分」が現れます。
ここでは電荷が保存されます。ここに注目すればよいです。

で、質問されていた内容ですが、スイッチbに切り替わったときには電池の存在は無視してください。電池は、あくまでも正極・負極の両方がつながったときにはたらくだけです。
そして、C1の負電荷も移動します。というか、移動しないと、コンデンサーの正極側だけに電荷がたまるという矛盾した状態になってしまいます。電荷がたまるとは、正極・負極両方に絶対値の等しい電荷が存在することを言います。

Q2の正極側にたくわえられる電荷を数列のようにQ2[n]と表せば、電荷の保存と電圧の関係から漸化式を得ることができます。Q2[n+1]とQ2[n]をともにαと置いた式から求めたαが、n→∞としたときのQ2[n]の極限値になっています。その極限値Q2[∞]が求まれば、最終的な電圧は、V[∞]＝Q2[∞]／C2として求められます。

Tann3 · Answer

＞ｃ１の負電荷がｃ２へと移動しないのは

いいえ、移動します。

コンデンサは、2つの電極に、同じ量の「正電荷」と「負電荷」が向かい合います。
　図の上側で正電荷がＣ１→Ｃ２に移動すれば、それに伴って図の下側でも負電荷がＣ１→Ｃ２に移動します。

（１）スイッチを「ａ」にしている間、Ｃ１に電荷がたまります。（正電荷、負電荷が同じ量）
　　たまる電荷の量Ｑ１は、

Ｑ１＝Ｃ１×Ｖ　　（Ａ）

（２）スイッチを「ｂ」にすると、（１）でたまった電荷の一部がＣ１→Ｃ２に移動し、Ｃ１とＣ２に「Ｑ１」の電荷が分散します。
　このとき、スイッチ「ｂ」を通って正電荷が移動しますが、Ｃ１とＣ２とを図の下側で接続した電線を伝って、負電荷も同じだけ移動します。
　この結果、Ｃ１とＣ２の間の電圧Ｖ１は、

Ｑ１＝（Ｃ１＋Ｃ２）×Ｖ１　　　（Ｂ）

となります。（Ｖ→Ｖ１に低下する）

（３）次にスイッチを「ａ」にすると、Ｃ１の電荷が（Ａ）から（Ｂ）で減った分、また電池から補充されます。
　補充される電荷の量Ｑ２は、

Ｃ１×Ｖ１　＋　Ｑ２　＝　Ｃ１×Ｖ

つまり

Ｑ２　＝　Ｃ１×（Ｖ－Ｖ１）

要するに、（２）でＣ１→Ｃ２に移動して失われた分の電荷が補充されることになります。
　電荷がＣ１→Ｃ２に移動して失われた分、Ｃ１の電圧はＶ→Ｖ１に低下していますので、この低下した電圧分の電荷が補充される、と考えても同じです。

（４）次にスイッチを「ｂ」にすると、（３）で補充されたＱ２の一部がＣ１→Ｃ２に移動します。

以下、同じように繰り返して、Ｃ１、Ｃ２ともだんだん「最大量」に近い電荷になって行く、というわけです。

＞スイッチがaにあるとき、c1および電池の正極で繋がった部分とｃ１および電池の負極につながった部分の電位差がｖになるという理解で正しいでしょうか?

そうです。上の（１）や（３）がそれに相当します。

コンデンサは、上の（Ａ）式のように、容量Ｃ１のコンデンサにＶの電圧をかけると、Ｑ１の電荷がたまる、という風に理解しましょう。コンデンサの両側に、正電荷がＱ１と、負電荷がＱ１向かい合ってたまる、ということです。

gohtraw · Answer

＞スイッチがaにあるとき、c1および電池の正極で繋がった部分と
＞ｃ１および電池の負極につながった部分の電位差がｖになるという
＞理解で正しいでしょうか?

C1の極板間の電位差がVになるという方が判りやすいですが、
正しいです。

＞ｃ１の負電荷がｃ２へと移動しないのは、スイッチがaにある段階で、
＞電池の負極に繋がれた部分は電位が等しいから、c1の負電荷は
＞ｃ２へと動かない。

何が言いたいのかさっぱり判りませんが、この操作で起きるのは
（１）スイッチをａに入れると、Ｃ１の極板間の電位差がＶになり、
　　それに応じた電荷がＣ１に蓄えられる
（２）その後スイッチをｂに切り替えると、Ｃ１とＣ２に蓄えられた電荷が
（合計はそのままで）再分配され、両コンデンサの極板間の電位差が
等しくなる

ということです。

高校物理、コンデンサー、スイッチの入れ替え

No.2です。

理想のコンデンサー、導線の抵抗損失等を無視すれば、ともに電源と同じ電圧になります。

なんとなく疑問点がわかってきました。

〉スイッチをｂにしたとき、

この回答への補足

初期状態では、C２は全く充電されていないという前提ですよね？

〉電池の負極ｃ１の下側、ｃ２の下側は繋がっていますが、そのときここの部分はすべて等電位ですよね?

この回答への補足

こんばんわ。

この回答への補足

＞ｃ１の負電荷がｃ２へと移動しないのは

この回答への補足

＞スイッチがaにあるとき、c1および電池の正極で繋がった部分と

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　No.2です。