A 回答 (6件)
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No.6
- 回答日時:
tanの加法定理を使う解法がわかりやすいとは思いますが、三角形ABDと三角形CAD(対応する頂点に注意)が相似であることに気づけば、三角形の外角の性質から∠ACD+∠ABC(下の図ではα+β)が45度であることは明らかです。
なお三角形ABDと三角形CADが相似である理由は、∠BDA=∠ADC(共通)かつBD/AD=AD/CD=√2
すなわち2辺の比と、そのはさむ角(挟角)がそれぞれ等しいからです。
(∵正方形の1辺の長さをaとすると、BD=2a、AD=√2a、CD=a)
No.4
- 回答日時:
これはかって大学入試に提出されました。
Dを通って正方形の一辺と同じ長さを下に延長し、Eとする。
すると、ABEが直角二等辺三角形となり、∠ABEが45°
図をじっくり見て下さい。
これが直角二等辺三角形になること、
この角度が、ABCとACDの和と等しいこと、が分かると思いますが。
45°ですから、tanθの値は1。
No.3
- 回答日時:
sanzeroさんの仰るように、図形の長さが分からなくても、比さえ分かれば三角比は求まります。
そして、加法定理を使えばtanθは求まります。実際に計算しますと、tan∠ACD=1/2, tan∠ABD=1/3ですから、tanθ=tan(∠ACD+∠ABD)=(tan∠ACD+ tan∠ABD)/(1-tan∠ACD*tan∠ABD)=(1/2+1/3)/(1-1/2*1/3)=1となります。これはつまりθ=45°を意味します。
まあ私が現役生でもそうするでしょうが、θ=45°となるあたり、幾何学的に考えてもいけそうな気がしなくもないですね。ということで、私はsanzeroさんとは違った回答を致します。次の画像を参照しながらお読みください。
[参考画像] http://art21.photozou.jp/pub/733/3028733/photo/2 …
まず、図のように正方形を描きます。実線はもともとある正方形、点線はかきたした正方形です。そして、点O,C',C''を図のようにおきます。∠ACDは■で、∠ABDは●で表します。この時、AC''とBC''は対応する正方形の対角線となります(図形を見ればお分かりになるかと)。
さて、対称性から、当然∠DC'O=■となり、∠DC''O=■となります(∠DC'O=■から円周角の定理によって∠DC''O=■を導くこともできます)。ここで、四角形OAC''Bについて、∠AOB=∠AC''B=90°、つまり対角の和が180°ですから、この四角形は円に内接します。従って、円周角の定理より、∠ABO=∠AC''O=●
最後に、∠AC''D=∠DC''O+∠AC''O に ∠AC''D=45°, ∠DC''O=■=∠ACD, ∠AC''O=●=∠ABDを代入すれば、
θ=∠ACD+∠ABD=■+●=45°
となります。
とまあここまで述べてきましたが、やはりsanzeroさんのように加法定理を用いたほうが簡単で早いのでそのように解くことをおすすめします(苦笑)。
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