高校数学1です 次のような三角形ABCにおいて、残りのへんの長さと角の大きさを求めよ a=2,b=√

高校数学1です
次のような三角形ABCにおいて、残りのへんの長さと角の大きさを求めよ

a=2,b=√6,A=45°

c＝３√1＋1または3√1-1
まではわかりましたがここからがわかりません。

1.3√1＋1の時のBの求め方（Cでもokです）

2.3√1-1の時のBの求め方（Cでもokです）

を教えてください
途中計算まで教えてください‘

No.4 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2022/11/21 11:49

もう一つの質問からすると、余弦定理の途中計算が不安なようなので、やってみましょうか。

まずは c を求めるところから。
∠A が分かっているので
　a^2 = b^2 + c^2 - 2bc･cosA
より
　2^2 = (√6)^2 + c^2 - (2√6)c･cos(45°)
→　4 = 6 + c^2 - (2√6)c/√2
→　c^2 - (2√3)c + 2 = 0
二次方程式の一般解の公式より
　c = (√3) ± √(3 - 2)
　　= (√3) ± 1

ここまではよいようですね。

次に ∠B を求めれば
　b^2 = a^2 + c^2 - 2ac･cosB
より

(1) c = (√3) + 1 のとき
　6 = 4 + [(√3) + 1]^2 - 4[(√3) + 1]cosB
→　4[(√3) + 1]cosB = -2 + (3 + 2√3 + 1)
　　　　　　　　　　= 2 + 2√3
　　　　　　　　　　= 2[(√3) + 1]
→　cosB = 1/2
よって、0<B<180° の範囲では
　B = 60°
三角形の内角の和から
　C = 180 - (45 + 60) = 75°

(2) c = (√3) - 1 のとき
　6 = 4 + [(√3) - 1]^2 - 4[(√3) - 1]cosB
→　4[(√3) - 1]cosB = -2 + (3 - 2√3 + 1)
　　　　　　　　　　= 2 - 2√3
　　　　　　　　　　= -2[(√3) - 1]
→　cosB = -1/2
よって、0<B<180° の範囲では
　B = 120°
三角形の内角の和から
　C = 180 - (45 + 120) = 15°

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2022/11/21 10:35

No.1 です。

下記のような図があれば一目瞭然ですよね。

c の辺の長さを余弦定理で求めたのであれば、#2 さんのように ∠B、∠C も余弦定理を使ってもよいですが、
c の長さを図で求めたのなら、∠B、∠C もそこから読み取れてしまいます。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/11/21 08:25

これは余弦定理で解くのが定跡でしょうね。

b²=a²+c²-2ca・cosB → cosB=(a²+c²-b²)/(2ca)

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2022/11/21 00:56

＞c＝３√1＋1または3√1-1

＞まではわかりました

それは
　c = √3 ± 1
ですね？

それは、C から AB （またはその延長線）に垂線を下ろして、その足を D として
　∠A = 45°
から
　CD = AD = √3
従って
　BD^2 = BC^2 - AD^2 = 4 - 3 = 1
→　|BD| = 1
よって
　AB = AD ± BD = √3 ± 1 = c
と求めましたね？

c = √3 + 1 のとき ∠B は鋭角なので
　cosB = BD/BC = 1/2
よって
　B = 60°
そのとき
　C = 180 - (45 + 60) = 75°

c = √3 - 1 のとき ∠B は鈍角なので
　cosB = -1/2
よって
　B = 120°
そのとき
　C = 180 - (45 + 120) = 15°