勝率50％の事象を100回やって勝率７０％以上になる確率

お世話になります。
勝率50％の事象を100回やって勝率70％以上（70勝30敗以上の成績）
になる確率は何％くらいあるのでしょうか？
よろしくお願いします。

No.1 回答者： soixante 回答日時： 2015/06/14 16:44

0.003925　％　のようです。

cf.
70勝以上　　0.003925　％
65勝以上　　0.175882　％
60勝以上　　2.844396　％
55勝以上　 18.410080　％

この回答へのお礼

ありがとうございます。
思った以上に低い結果になってびっくりです・・

お礼日時：2015/06/14 17:52

No.2 回答者： ohmy-pasta 回答日時： 2015/06/14 19:11

計算式は

100C30*(1/2)^30*(1/2)^30
になります。
（*は、かけ算）

100C30
=(100*99*98*97*96*95*94*93*92*91*90*89*88*87*86*85*84*83*82*81*80*79*78*77*76*75*74*73*72*71)
/(30*29*28*27*26*25*24*23*22*21*20*19*18*17*16*15*14*13*12*11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1)
です。
普通の計算機で計算すると当然オーバーフローしますから、
手計算で分数を書いてみると、意外と簡単に約分できて自力で答えに近付きますよ。

私の手元の計算過程を参考までに記すと、
100C30=97*47*31*89*11*43*7*83*82*79*76*15*74*73*3*71
です。ただこれでも計算するのはけっこうたいへんなので（25ケタ）
http://osdn.jp/projects/descartes/wiki/ExPermuta …
を参照すると、
100C30 = 2.9372e+25
だそうです。
e(E)は指数表示。つまり
100C30 ≒ 29372000000000000000000000
（0が21個）
これは概数ですよ。
97*47*31*89*11*43*7*83*82*79*76*15*74*73*3*71
の中に5の倍数がほとんどないので、「正確な計算結果」で0がこんなに並ぶことはあり得ません。
以降、この近似値を使うことにします。

100C30*(1/2)^30*(1/2)^30
≒(2.9372e+25)/(2^30)
です。

2^30=1.2676506e+30
のようです。これはグーグルで「2の100乗」と入力すればすぐに出ます。
これも概数ですよ。
2を30回かけ算したら、1の位は4になるはずです。これはすぐにわかります（説明省略）。
あえて数字の大きさを示せば、
2^30≒1267650600000000000000000000000
(0が23個)
です。以降、この近似値を使うことにします。

あとは計算。
100C30*(1/2)^30*(1/2)^30
≒(2.9372e+25)/(1.2676506e+30)
=2.9372/(1.2676506*10^5)
=2.9372*10^4/(1.2676506*10^7*10^2)
=29372/1267650600

またグーグルで「=29372/1267650600」と入力すれば
0.00002317042
と出ます。これも近似計算かも知れない。コンピューターを使う限り、仕方ない。

求める確率
=100C30*(1/2)^30*(1/2)^30
≒0.00002317042
％で表せば、
0.002317042％

0.003925　％
とどちらが正確かは、私は検証していません。
正確かどうかを検証するには、「この計算機では、何桁までの精度を持っているか」「かけ算は正確か・割り算は・べき乗は」ということまで考えないといけません。
結局は、自分の手が一番正確。
興味があれば、
97*47*31*89*11*43*7*83*82*79*76*15*74*73*3*71/(2*2*2*・・・*2)
（2が100個）
を手計算してみてください。一部まだ約分できます。


それより、この計算結果の方が興味深いですね。
教えて！goo・OKWaveや　知恵袋でも　類似の質問が過去にあったようです。

「オレじゃんけん強い」と言っている人でも、
■「強い」とは言っても、「３回のうち２回は勝つ」というほどではない、か
■事実「３回のうち２回は勝っている」のだとすれば、0.0039％～0.0023％の人間（3万人に1人）というとんでもない強運の持ち主の1人　か

どちらかだ、ということですね。
楽しませてもらいました。

No.3 回答者： ohmy-pasta 回答日時： 2015/06/14 19:17

＃2です。

コピペを用いて作文したので、かなりたくさんの記入ミスを発見しました。

＞100C30*(1/2)^30*(1/2)^30
＞≒(2.9372e+25)/(2^30)
＞です。
～
＞％で表せば、
＞0.002317042％
の間が、以下のように訂正になります。

-----------------------------------
100C30*(1/2)^30*(1/2)^70
≒(2.9372e+25)/(2^100)
です。

2^100=1.2676506e+100
のようです。これはグーグルで「2の100乗」と入力すればすぐに出ます。
これも概数ですよ。
2を100回かけ算したら、1の位は4になるはずです。これはすぐにわかります（説明省略）。
あえて数字の大きさを示せば、
2^100≒1267650600000000000000000000000
(0が23個)
です。以降、この近似値を使うことにします。

あとは計算。
100C30*(1/2)^30*(1/2)^70
≒(2.9372e+25)/(1.2676506e+100)
=2.9372/(1.2676506*10^5)
=2.9372*10^4/(1.2676506*10^7*10^2)
=29372/1267650600

またグーグルで「=29372/1267650600」と入力すれば
0.00002317042
と出ます。これも近似計算かも知れない。コンピューターを使う限り、仕方ない。

求める確率
=100C30*(1/2)^30*(1/2)^70
≒0.00002317042
％で表せば、
0.002317042％
-----------------------------------

雑ですみませんでした。計算結果は変わりません。
以上、ご参考まで。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
凄い桁数になるものなのです・・・
もうちょっと可能性高そうなイメージしてましたが
万に一つもないんですね・・

お礼日時：2015/06/14 20:12

No.4 ベストアンサー 回答者： soixante 回答日時： 2015/06/14 19:35

#1です。

念のため私の計算ロジックもお示ししておきます。

Excelを使用しました。
【１】A1セルに100と入力。そこから１ずつ減らした数値を下に展開。A101セルが０。

【２】B1セルに、100勝した時の確率を入れますが、考え方としては、
　　　100C100*（0.5）＾100*（0.5）＾0　　　で入れています。

　　　ちょっと分かりにくいので、99勝1敗の時で示しますと、
　　　100C99　*　(0.5)^99　*　(0.5)^1

　　　100回のうち勝ち星99回の取り方の場合の数　100C99
　　　（裏を返せば、何回目に1個の負け星を喫するかと考えれば、100C1　でも良いわけですが。）
　　　勝つ確率（0.5）の99乗、負ける確率の（0.5）の1乗を掛けています。

　セルへの入力としては、B1セルに
　=COMBIN(100,A1)*(0.5)^(A1)*(0.5)^(100-A1)

これをB101セルまで下に引っ張ってください。

【３】 B1セルからB101までの合計は、１になったはずです。全ての可能性を足せば当然１．

【４】　70勝以上の確率は、B１セルからB31セルまでの値を合計しました。

基本的には＃２さまと同じロジックに思います。
70勝30敗の時の確率は、上記の処理ですと、0.0023170691％と出ましたので、
＃２さまの　0.002317042％　とほぼほぼ同じになりました。

私の場合は70勝「以上」になる確率をすべて合計したものです。

この回答へのお礼

再びありがとうございます。
７０勝する確率が0.002317042％で
７０勝以上する確率が0.003925％になるのですね。
いま手元にExcelないのですがあとで試してみます

お礼日時：2015/06/14 20:16