数学 因数分解x∧3-12x+16=0を因数分解したら (x-2)∧2(x+4)=0

数学 因数分解

x∧3-12x+16=0

を因数分解したら (x-2)∧2(x+4)=0

となるのですが、過程を分かりやすく教えてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： qp3qp3 回答日時： 2015/09/04 12:35

3乗の公式

a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)
を使えば解けるのでは？

x^3-12x+16をx^3-8-12x+24と変形し、
x^3-8=x^3-2^3と置き換えれば、

(x-2)(x^2+2x+4)-12x+24
=(x-2)(x^2+2x+4)-12(x-2)

(x-2)でくくると

=(x-2)(x^2+2x+4-12)
=(x-2)(x^2+2x-8)
=(x-2)(x-2)(x+4)

この回答へのお礼

ありがとございます。

お礼日時：2015/09/04 13:25

No.5 回答者： eltaliese 回答日時： 2015/09/07 21:39

No.2さんのように、1元三次式の因数分解は小さい数で適当に探してみるのが定石というか、一番無難です。

ついでに、こういう形のときはこんなやり方もありえるのかな。

x(x^2 -a^2) - k(x-a)　となるa,kを探す

(与式)=x(x^2-4)-8(x-2)
=x(x+2)(x-2)-8(x-2)
=(x-2){x(x+2)-8}
=(x-2)(x^2+2x-8)　以下略

この問題の場合、aに入るのは１，２，３のいずれかだから、比較的探しやすい。まぁ普通はこういう風にはやりませんが(^-^;

この回答へのお礼

ありがとございます

お礼日時：2015/09/14 22:01

No.4 回答者： ORUKA1951 回答日時： 2015/09/06 10:42

x³ - 12x + 16 =

順当な開放としてはしらみつぶしに因数をひとつ見つける。
この場合、x = 2 で、2³ - 12·2 + 16 = 8 - 24 + 16 = 0 が見つかりますから、それで割ります。割り方は小学校で学んだ割り算の筆算でよい。
　　　　＿＿＿＿＿＿＿＿
(x - 2) ）x³ - 12x + 16

　　　　＿＿＿＿＿＿x²＿＿＿＿＿
(x - 2) ）x³　　　 - 12x + 16
　　　-　(x³ - 2x²)
　　　　￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣

　　　　＿＿＿＿＿＿x²＿＿＿＿＿
(x - 2) ）x³　　　 - 12x + 16
　　　-　(x³ - 2x²)
　　　　￣￣￣2x²￣-12x￣￣￣￣￣
　
　　　　＿＿＿＿＿＿x²＿＿2x＿＿＿
(x - 2) ）x³　　　 - 12x + 16
　　　-　(x³ - 2x²)
　　　　￣￣￣2x²￣-12x￣￣￣￣￣
　　　　　　-(2x²　- 4x)
　　　　￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣

　　　　＿＿＿＿＿＿x²＿＿2x＿＿＿
(x - 2) ）x³　　　 - 12x + 16
　　　-　(x³ - 2x²)
　　　　￣￣￣2x²￣-12x￣￣￣￣￣
　　　　　　-(2x²　- 4x)
　　　　￣￣￣￣￣￣8x￣+16￣￣￣￣

　　　　＿＿＿＿＿＿x²＿＿2x＿＿-8＿
(x - 2) ）x³　　　 - 12x + 16
　　　-　(x³ - 2x²)
　　　　￣￣￣2x²￣-12x￣￣￣￣￣
　　　　　　-(2x²　- 4x)
　　　　￣￣￣￣￣￣-8x￣+16￣￣￣￣
　　　　　　　　-( -8x　 - 16)
　　　　　　　￣￣￣￣￣￣￣0￣￣

よって、
x³ - 12x + 16 = (x - 2)(x² + 2x - 8)
ついで同様に、x² + 2x - 8 を因数分解すると(x - 2)(x + 4)ですから、
x³ - 12x + 16 = (x - 2)((x² + 2x - 8)
　　　　　　　 =(x - 2)(x - 2)(x + 4)
　　　　　　　 =(x - 2)²(x + 4)

　小学校で学んだ割り算の筆算、たとえば 256÷32 は、
2·10² + 5·10¹ + 6·10º を、3·10¹ + 2·10º で割っていましたね。
10がxに変わっただけです。忘れちゃダメです。

この回答へのお礼

わかりました

お礼日時：2015/09/14 22:02

No.3 回答者： tekcycle 回答日時： 2015/09/05 08:53

出題者の親切心をあてにするなら、１，２，３，４，－１、－２、－３、－４などの整数を代入してみて、

ｘ∧3－12ｘ＋１６=０となるような数字を探します。
一つ探し当てられたら、その数値ａを使って、ｘ∧3－12ｘ＋１６を、(ｘ－ａ)で割ります。
二次式になれば、あとは最悪解の公式でも何でも使って解を出し、二次式を(ｘ－解1)(ｘ－解2)にすれば良いです。
出題者が陰険で、どんな意地悪をするか判らないと思うのでしたら、
その式のグラフを描いてみます。
一階微分して、凹凸の頂点を求め、グラフの形状から、ｘ軸と交点がどの辺りか目安を付けます。
凸と凹の間にｘ軸があるか、凸と凹がどの辺りだから、大凡どの辺りに交点がありそうか、と。
で、交点の辺りの整数を色々代入し、正負や大小を見て、正負の境界線辺りで一桁細かい数字を代入していき、また正負の境界線辺りで、と繰り返せば、相当良い目安ができるでしょう。
このやり方の問題点は、平方根が含まれていると気付きにくい、ということです。

この問題に限っては、おそらく、一階微分すると、ｘ＝２、ｙ＝０が凹凸どちらかの頂点、と判るでしょう。
そこから、(ｘ－２)^2という成分がそのまま求められちゃったりします。残りは一次式、と。

この回答へのお礼

ありがとございます

お礼日時：2015/09/14 22:02

No.2 回答者： spring135 回答日時： 2015/09/04 14:33

定石としては

(1)f(x)=x∧3-12x+16

において

xに0,±1,±2,...

を代入して

f(x)=0となるxを求まます。

f(2)=0は慣れてくるとさっとわかります。

(2)g(x)=f(x)/(x-2)を計算します。

g(x)=x^2+2x-8

が出ましたか。

(3)g(x)を因数分解します。

g(x)=0となるxを探してもよい。g(x)=0とおいた2次方程式を解の公式を用いて解いてもよい。

g(x)=(x-2)(x+4)

が出ましたか

(4)f(x)=(x-2)^2(x+4)

この回答へのお礼

ありがとございます

お礼日時：2015/09/14 22:02