微分

【問】関数 y=x(x-a)~2において極大値4をもつように，定数aを求めよ。ただし、aは0ではないことを前提とする。

という問題なのですが，aを場合分けしなければならないようでして・・・

とりあえず，展開して微分して，y'に4を代入して　y'=0にしてみたのですが，そのaの場合分けがわかりません。

教えててください。

No.1 ベストアンサー 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2008/09/28 21:25

　「関数 y=x(x-a)^2において極大値4をもつ」という条件から、グラフの形を考えるとａ＞０でなければならないので、ａで場合分けしなくても良いように思います。

　また、グラフの形を知らなくても、この問題の場合、１つの極値のｘ座標がａのときｙ＝０となることは自明なので、質問者さんが言われるように敢えて場合分けしなくても良いように思います。（ただし、その極値が極大値であることを検証するためにはａ＞０であることを確認する必要がありますが。）
　その意味では、この問題は極大・極小の解き方を習熟させるには適切ではないのかもしれません。

　３次関数の極大・極小問題の基本的な解き方は、x^3の係数が正の場合、（極値が存在すれば）極大値のｘ座標は極小値のｘ座標より小さいことを利用することが基本です。
　この問題の場合、極値のｘ座標はａ、ａ／３ですので、上記のことを利用しようとすれば、ａの符号で場合分けしなければなりません。
　この問題の解説（?）にａでの場合分けが書いてあったとすれば、そのことを考慮していたように思います。


　なお、単なる誤記だとは思いますが、
＞とりあえず，展開して微分して，y'に4を代入して　y'=0にしてみたのですが

計算されるときは、ｙ’＝０で得られたｘ座標をx(x-a)^2＝4に代入しなければなりません。念のためご指摘します。

No.4 回答者： noname#75273 回答日時： 2008/09/28 21:33

>> y' に 4 を代入して

y = 4 を代入するのであれば分かりますが、
y' = 4 は間違えだと思います。

>> y' = 0にしてみたのですが
y' = 0 にしたときの x = a / 3 , a となります。

また、y = (x - a)^2 のグラフの形が分かっていれば、

f(x) = x (x - a)^2 とすると、
f(a / 3) = 4 となるのは明らかです。

No.3 回答者： take_5 回答日時： 2008/09/28 21:29

う～ん、ただ微分するだけなんだけどなぁ。

y´＝3（x-a/3）*(x-a)だから、a≠0より、a＞a/3の場合とa/3＞aの2つの場合わけ、つまり、a＞0とa＜0の場合分けだけ。

No.2 回答者： info22 回答日時： 2008/09/28 21:27

x(x-a)^2=の重解がx=aであること（yのグラフがx=aでx軸に接すること）、またyが３次関数でx^3の係数が1であることから、a<0では極大値が0になります。

従って a>0であることが極大値が正の値をもつ条件になります。
このときx=aで極小値が0になります。

なので、a>0とすれば場合分けは必要なくなります。