数学の最小値問題の証明

Ａ＝（０　１　］の時、minAが存在しないことの証明がわかりません。
最小値の定義の「Ａに含まれるｎが存在し、Ａに含まれる任意の数aがｎより大きい」
の否定命題である「任意のｎはＡに含まれ、Ａに含まれるaが存在しaはｎ未満である」
を証明すればよいと教わり、a＝０とおけば否定証明は確かに正しい、といわれたのですが、
0はＡに含まれていないのになぜa=0とおくのですか？
それとこの否定命題が正しいとわかると、なぜ最小値は存在しないとなるのですか？

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/04/14 08:45

>a＝０とおけば否定証明は確かに正しい、といわれたのですが

間違いです。

存在を示せばよいだけなので
a=n÷2
a ∈ A、 a < n だから
で充分

>この否定命題が正しいとわかると、
>なぜ最小値は存在しないとなるのですか？
「Aに含まれる任意の数が最小値ではない(より小さい数が有る) 」
ということですから、Aの中から最小値を取り出す術は有りません。
Aの中に最小値はないということになります。

No.2 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2016/04/14 02:37

＞ 0はＡに含まれていないのになぜa=0とおくのですか？

あなたの言うように, 0 は A の元ではないので, a = 0 とおいても何も解決しません。

＞ それとこの否定命題が正しいとわかると、なぜ最小値は存在しないとなるのですか？
∀n ∈ A ∃a ∈ A; a < n ・・・ (**)
という命題が真だと証明されれば、その否定である
∃n ∈ A ∀a ∈ A; n ≦ a
が偽、つまり min A が存在するという命題が偽と証明されたことになります。

命題 (**) を証明する際に、先に a = 0 とおくのは、誰に教わったのか知りませんが、得策じゃないですね。
0 が A の元でないからという理由もありますが, n を決める前に a を決めてしまっては、後出しの有利を使えていません。
先に n を決めてから、その n に対抗できる a を選ぶというのが常套手段です。
で、先に n ∈ A を任意に取ったとしましょう。
0 < n ですから, 0 < m < n を満たす実数 m が存在します。
m ∈ A なので, a としてこの m を選べば, a < n が成り立ちます。
よって、命題 (**) が真だと証明できました。
Dedekind の切断公理を中途半端に理解した上で、それをうろ覚え的に暗記すると、既出の回答のようになる恐れがあります。

No.1 回答者： nao4230 回答日時： 2016/04/13 21:53

「最小値であること」の否定命題は「最小値でないこと」の定義です。

なのでa=0が最小値でないことを証明するには、否定命題が真であることを言えばよい。
しかし、これはa=0が最小値でないことは言っていますが、Aに最小値が存在しないことの
証明にはなりません。Aに最小値が存在しないことを証明するには、
「Aに属する任意のnに対してｘ<nであるxが属する集合Bには最大値が存在する」ことを言わなければなりません。