自閉

次の曲線の長さを求めてください。

x=3t^2,y=3t-t^3の自閉線

また　囲まれる部分の面積をも。

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2016/05/26 21:35

x≧0である。

一方、y=(3-t^2)t だから、t=0, t=±√3でy=0となる。
ちうわけで、
　　|t|≦√3
の範囲が、計算したい曲線の部分。しかも
　　y(t) = -y(-t)
　　x(t) = x(-t)
であるから、0≦t≦√3の範囲について計算して2倍すればよろしい。あとは全く公式通りで簡単に計算できる。

面積の方は、∫y dx を計算するわけで、置換積分 ∫(y (dx/dt)) dt を使えば良いだけ。積分範囲はもちろん0≦t≦√3の範囲について計算して2倍すればよろしい。こっちも簡単に計算できる。