ガリレイ変換とローレンツ変換の使い分け

ガリレイ変換とローレンツ変換はどちらも静止座標系と慣性座標系の間の座標の変換をする公式だと思うのですが、どのように使い分ければいいのでしょうか？

Wikiなんかを見てみると、光速に近い場合はガリレイ変換は成り立たないっぽいことが書いてあるのですが、光速に近い時はローレンツ変換を使えばいいのでしょうか？

あと、学校の課題を解いているのですが、問題文に
"According to Galilean relativity, what is the speed of the objectA relative to objectB?"
となっていた場合は光速に近いかどうかは気にせずにガリレイ変換で解けばいいのでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/05/28 15:30

>光速に近い時はローレンツ変換を使えばいいのでしょうか？

要求される精度次第です。

>Galilean relativity

ガリレイ変換もローレンツ変換もこれに従っているので、
これだけでは決まらないです。問題次第。

ガリレイの相対性原理はガリレイ変換のことでは
ありません。

この回答へのお礼

なるほど！
つまり、ガリレイ変換で解いても問題はないが、より高い精度を求められる場合はローレンツ変換を用いるということですね。

Galilean relativityについてもありがとうございます。

特にそれ以上の指定はなく、光速に近い物体の話なのでローレンツ変換で行こうと思います。

お礼日時：2016/05/28 15:43

No.2 回答者： kothimaro 回答日時： 2016/05/29 06:44

ローレンツ変換の導き方のみお返事します。

V㎞/秒で移動すると、空間と時間の座標が次の「ローレンツ変換」のとおり変化します。
①x’=(x－Vｔ)/√（1－V^2/C^2）
②y’= y
③z’= z
④t’= (t－Vx/C^2) / √（1－V^2/C^2）

高速移動する物質は、「動き難く」なり、また「ローレンツ収縮」します。
物質は、光速に近づくほど動かし難くなります。例えば、V㎞/秒で移動する粒子を、進行方向(横方向)に向かって上下左右方向(縦方向)へ動かします。その方向へ動かせる限度は√(C^2－V^2)㎞/秒までです。この時、粒子の速度はC㎞/秒とMAXになります。これ以上粒子が、上下左右方向へ動けば、その速度は光速を超えてしまいます。
静止時には、その方向へはC㎞/秒まで動かすことが出来ました。従って、V慣性系では、静止時の√(C^2－V^2)㎞/秒÷C㎞/秒=√(1－V^2/C^2)倍しか動かせません。

これを相対性理論では、m=m0/√(1－V^2/C^2)と表わします。m=移動する物質の質量m0=静止時の質量です。高速移動する時計は、静止時に比べて√(1－V^2/C^2)倍しか動かないので、この時計は1秒間に√(1－V^2/C^2)秒を刻む様になります。時間の変換式は
⑤t’=t√(1－V^2/C^2)
です。

次に「ローレンツ収縮」です。V㎞/秒で移動すると、物質は横方向へ√(1－V^2/C^2)倍収縮します。これを「ローレンツ収縮」と言います。電子は、原子核の周りを高速で回転し、その遠心力と原子核に引き付けられる電磁力の釣り合う一定距離を保っています。原子が高速移動すると、電子は回転し難くなり遠心力は弱まり電子は原子核の電磁気力に引き付けられ、原子自体が横方向へローレンツ収縮します。

この様に、V慣性系では、物質である定規が√(1－V^2/C^2)倍「ローレンツ収縮」する為、距離は逆に1/√(1－V^2/C^2)倍長く測定されます。また、その間に観測者自身がVt㎞移動しているので、その分距離は短く測定されます。上下左右方向(縦方向)には変化はありません。従って、これを方程式で表わすと
①x’=(x－Vt)/√(1－V^2/C^2)
②y’=y
③z’=z
です。

一方、電磁力は、電荷を帯びた粒子間を光子が光速で往復することで生じます。生じる電磁力の強さは、粒子間の距離の2乗に反比例します。
C㎞離れた粒子がV㎞/秒で並走しながら光子を交換すると、往復距離は横2C/(1－V^2/C^2)㎞・縦2C/√(1-V^2/C^2)㎞となります。これでは、V慣性系では生じる電磁力の強さは弱まりそうです。
しかし、V㎞/秒で移動する地球自体が横にローレンツ収縮するので、光子の往復距離は横2C√(1－V^2/C^2)/(1－V^2/C^2)=2C/√(1－V^2/C^2)㎞・縦2C/√(1－V^2/C^2)㎞となります。この仕組みにより、マイケルソンとモーレーの実験では、縦往復した光と横往復した光は同時に戻ったのです。

静止時には、光子は横も縦も2秒で往復します。V慣性系では横も縦も2/√(1－V^2/C^2)秒で光子は往復します。ただし、⑤のとおり、V慣性系の時計は2/√(1－V^2/C^2)秒間に2秒を刻むので、V慣性系でも静止時とおなじ2秒で光子は往復すると観測されます。この仕組みにより、V慣性系でも生じる電磁力の強さは静止時と同じなのです。これを「全ての慣性系で物理法則は同じ形となる」と言います。


光の座標を便宜上平面で、P(x,y,z)=(Ct*cosθ,Ct*sinθ,0)とします。光は、原点Oを発してt秒後にPの位置に到達します。光が移動した時間はt秒です。光の移動した距離は、√(x^2,y^2,z^2)=√{(Ct*cosθ)^2+(Ct*sinθ)^2+0^2}=Ct㎞です。従って、静止者が見た光の速度は、Ct㎞÷t秒=C㎞/秒です。
今度は、V㎞/秒で移動する観測者Aが同じ光を見ると、その速度は幾らと観測されるか、時間と空間の座標の変換式①②③⑤を使って計算します。
V慣性系で光の進んだ距離√(x’^2+y’^2+z’^2)=√{((t－Vx/C^2) / √（1－V^2/C^2）)^2+( Ct*sinθ)^2+0^2}=(C－Vcosθ)t/√(1－V^2/C^2)㎞

V慣性系で光の進んだ時間t’=t√(1－V^2/C^2)秒
従って、
V慣性系における光の速度⑥C’=(C－Vcosθ)t/√(1－V^2/C^2)㎞÷t√(1－V^2/C^2)秒=(C－Vcosθ)/(1－V^2/C^2)㎞/秒
です。従ってV慣性系における空間時間光速度の変換式は
①x’=(x－Vt)/√(1－V^2/C^2)
②y’=y
③z’=z
⑤t’=t√(1－V^2/C^2)
⑥C’=(C－Vcosθ)/(1－V^2/C^2)
です。これを「kothimaro変換」と呼びます。

光子がV㎞/秒で並走する粒子間を往復します。当然、往路と復路の光速度は異なります。しかし、往復すると上記のとおり光速度は不変となります。ですから、一々往路と復路の光速度よりそれぞれの所要時間を求め、それを足して電磁力の強さを求めるのは無駄です。往路も復路も光速度不変と仮設した方が計算に便利です。

その為には、
光の移動時間⑦t’=(C－Vcosθ)t/C√(1－V^2/C^2)
でなければなりません。これで
V慣性系における光の速度=(C－Vcosθ)t/√(1－V^2/C^2)㎞÷(C－Vcosθ)t/C√(1－V^2/C^2)=C㎞/秒
と片道でも光速度不変となります。
光のX軸の座標x=Ct*cosθなので、cosθ=x/Ctです。これを⑦に代入すると
⑦t’=(C－Vcosθ)t/C√(1－V^2/C^2)= (C－Vx/Ct)t/C√(1－V^2/C^2)=④ (t－Vx/C^2) / √（1－V^2/C^2）
です。まとめると
①x’=(x－Vt)/√(1－V^2/C^2)
②y’=y
③z’=z
④t’= (t－Vx/C^2) / √（1－V^2/C^2）
と「ローレンツ変換」となります。