数学の問題でわからないものがあるので教えていただきたいです。 実数a, b, cが a＋b＋c＝

数学の問題でわからないものがあるので教えていただきたいです。


実数a, b, cが
a＋b＋c＝8, a²＋b²＋c²＝32
を満たすとき、実数cの最大値を求めよ。

と言う問題なんですけど、a+b, ab をcの式で表して、a, bはある2次方程式の2つの実数解であること を利用して解く方法がわからないので教えていただきたいです、、、

No.1 ベストアンサー 回答者： _11 回答日時： 2016/09/11 11:38

(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca

=64


64=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca
32=a^2+b^2+c^2

32=2(ab+bc+ca)

16=ab+bc+ca


16=c(a+b)+ab

a+b+c=8より

a+b=8-c・・・①

16=c(8-c)+ab

ab=c^2+8c+16・・・②


ところで、a,bは
(x-a)(x-b)=0の二つの実数解である

x^2-(a+b)+ab=0

この時　この式には二つの実数解があるので　判別式D>=0

(a+b)^2-4ab>=0
これに①、②を代入して

(8-c)^2-4(c^2+8c+16)>=0
(c^2-16c+64)-(4c^2+32c+64)>=0
-3c^2+16c>=0
-3{c^2-(16/3)}>=0
-3{c-4/(√3)}{c+4/(√3)}>=0

-4/(√3)<=c<=4/(√3)

この時　cの最大値　4/(√3)

この回答へのお礼

ご丁寧にありがとうございます。おかげさまで理解することができました。

ちなみに答えは16/3で大丈夫でした！

お礼日時：2016/09/11 13:13