15^10+2・15^2+1を15^4-15^2+1で割ったときの 商と余りを求めよ。 という問題な

15^10+2・15^2+1を15^4-15^2+1で割ったときの
商と余りを求めよ。
という問題なんですかやり方がわかりません

解説付きで教えてください

No.4 ベストアンサー 回答者： sc348253 回答日時： 2017/01/12 15:12

web電卓2つ使用しました。

15^10=576650390625
15^6=11390625
15^4=50625
15・15=225 より
左辺=576650390625+2・225+1=576650391076
右辺=50625ー225+1=50401 よって
左辺/右辺=11441249…余り 227

x^6+x^4ー1=11390625+50625ー1=11441249
x^2+2=225+2=227 (ただし、x=15 とする)

(x^10+2x^2+1)/(x^4ーx^2+1)
右辺(=Aとおく)でまとめると
=x^6・A+x^8ーx^6+2x^2+1
=(x6・A+x^4・A+x^6ーx^4ーx^6+2x^2+1)/A
=x^6+x^4+｛ ー(x^4ーx^2+1+x^2ー1)+2x^2+1｝/A
=x^6+x^4+｛ーAー(x^2ー1)+2x^2+1｝/A
=x^6+x^4ー1+(x^2+2)/A
よって
商=x^6+x^4ー1 だが、x^6は、まだ計算が大変なのでもっと簡単に！
余り…x^2+2=15・15+2=227 …答え(余り)

ここで、15 =3・5=3・5・2/2=(3/2)・10 と考えて
x^4=(3^4/2^4)・10^4=(81/16)10^4
=(81・4/16・4)・10^4=(324/64)10^4 としておく
x^6=x^2・x^4=(3^2・81/２^2・16)・10^6
=(729/64)・10^6

よって,
商=x^6+x^4ー1
=(1/64)(729・10^6+324・10^4)ー1
=(1/64)(729000000+3240000)ー1
=(1/64)・732240000ー1
=11441250ー1
=11441249 …答え(商)

商の写し間違い！ごめんね！
15を素因数分解して、5=10➗2 と気づくことが大切！
理系数学は、センスと判断力 必要！
直接の計算が大切早いかも！

No.6 回答者： sc348253 回答日時： 2017/01/12 19:33

答えを書けば、答えから導き出したような とってつけたような解答される時があるから、いつでも解答を載せるといいわけじゃないが、

今回のような場合は、皆の負担を減らせて、web電卓を使用すれば、間違いなく簡単に答えが導けるのでと思ったからです。いつでもと言うわけじゃないので、誤解しないでね！

No.5 回答者： sc348253 回答日時： 2017/01/12 15:23

教師や塾や予備校の先生でもなく、数学科の大学でもなく、ずーと数学の勉強していたわけでもなく30年ぶりに子供の数3を見ただけ！統計以外全て教科書レベルだが、解けた(差分・和分も含む) 頭の中に、教科書入っているようだ！きっと、学生時代に、生徒が暴れてて、独学をせざるを得なかった おかげ？かなってね！それ以外の習ったこと全て忘れたよ！

今回のは、計算力が必要ですが、出来るだけ わかりやすく簡単になるように考えよう！そして、

この問題に関して だけ は、

web電卓を用いて、出題する時、答えを書いて、僕らの負担を減らしてね

この回答へのお礼

丁寧な回答とご指摘ありがとうございます！

以後このような問題があるときは
そうさせていただきます！

お礼日時：2017/01/12 19:02

No.3 回答者： sc348253 回答日時： 2017/01/11 19:26

商は、1144124 余りは、227 web電卓で一回やってみよう！

もっと簡単な説明は、後日ね！
No.1 おかしいよね！x^6+x^4ー1 …商 x^2+2 …余り

この回答へのお礼

答えありがとうございます
後日またよろしくお願いします

お礼日時：2017/01/11 22:11

No.2 回答者： 銀鱗 回答日時： 2017/01/11 01:13

例えば9を3で割る。

　9÷6
これは、
　(3×3)÷(2×3)
さらにこれを見た目で分かりやすくするために分数にして示すと
　(3×3)/(2×3)
分母と分子に「×3」があるので約分して
　3/2
になる。
ここから元の割り算に直すと、
　3÷2
さあ、商と余りを求めるんだ。

…こんなやり方になる。

・・・
上の例では素因数分解をしたけど、因数分解でも良い。
同じ要領で約分をして簡単な数式に直して考えてみよう。

No.1 回答者： yuji3690 回答日時： 2017/01/10 23:01

xとかが含まれているわけでないのなら、ただの数字の計算なので、単純にそれぞれの値を求めて計算することもできます。

が、15^10等はばっと数字が分からないと思いますので、15をxと置いて計算してみます。
（x^10+2x^2+1）÷（x^4-x^2+1）は筆算で計算できると思います。
x^6-x^4+1余り3x^2　となると思いますので、後はxに15を代入してください。

ただし、xの値によっては余りの方が割る数より大きくなる可能性もあると思うので、代入後確認するのは大切だと思います。
与式の15が全て1だったとして、この方法をすると余りが3となってしまう、と言った意味です。

合ってると思いますがどうでしょうか？

この回答へのお礼

丁寧な解説ありがとうございます！

お礼日時：2017/01/11 22:08