高2 数学

(1)正四面体OABCにおいて、辺OAの中点をM、辺BCを1:2に内分する点をQ、線分MQの中点をRとし、直線ORと平面ABCの交点をPとする。OR:OPを求めよ。

この問題なのですが、
解いていくとOR=1/4a+1/3b+1/6cという数字が出てきて
(そもそもここまでなんなのかもわかりませんが)
そこからどうにもこうにも進まなくなりました…
解き方が知りたいですm(__)m

(2)正四面体ABCDにおいて△BCDの重心をGとすると、AG(垂直)BCである。このことをベクトルを用いて証明せよ。

こっちも解説お願いします（；＿；）

No.2 回答者： syotao 回答日時： 2017/03/02 16:02

（1）

図を書けばわかるのですが、
Ｑが線分ＢＣ上の点なので、線分ＡＱは平面ABC上にあり
また、平面ＯＡＱ上にもあります。
そしてＭは線分ＯＡ上の点だから、線分ＭＱは平面ＯＡＱ上にありしたがって
その上の点であるＲも平面ＯＡＱ上の点です。
だから、この問題は、三角形ＯＡＱにおいて辺ＯＡの中点Ｍと点Ｑとの中点Ｒに
Ｏから引いた直線ＯＲが辺ＡＱと交わる点を求め、それをＰとする問題になります。

矢印は見にくいので、たとえばベクトルＡＢはかっこでくくって(AB)とします。
すると条件より(ＯＲ)＝(1/2){(ＯＭ)＋(ＯＱ)}だが、条件より(ＯＭ)＝(1/2)(ＯＡ)なので、
(ＯＲ)＝(1/2){(1/2)(ＯＡ)＋(ＯＱ)}、この両辺を4倍して、4(ＯＲ)＝(ＯＡ)＋2(ＯＱ)
今、辺ＡＱを2：1に内分する点をＰとすれば、(ＯＰ)＝(1/3){(ＯＡ)＋2(ＯＱ)}、より
(ＯＡ)＋2(ＯＱ)＝3(ＯＰ)、したがって、4(ＯＲ)＝3(ＯＰ)となります。
これから、(ＯＰ)＝(4/3)(ＯＲ)、つまり、(ＯＰ)は(ＯＲ)の正数倍なのでＰは
直線ＯＲの点で、しかも線分ＯＱ上にあるから、これが求める交点になります。そして、
ＯＰ＝(4/3)ＯＲより、ＯＲ：ＯＰ＝3：4です。

（2）は(ＡＧ)＝(1/3){(AB)+(AC)+(AD)}と(BC)=(AC)－(AB)の内積を計算します。
(AB)、(AC)、(AD)はそれぞれ大きさ同じで、たがいになす角が60°で同じなので
上の内積は0です。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2017/03/01 15:59

(1) これはベクトルを使っています。

ベクトルは分かりますよね？

＞OR=1/4a+1/3b+1/6c

これは「OR = (1/4)a + (1/3)b + (1/6)c 」だと思いますが、各々の記号にベクトルの矢印は付いていませんか？

→OA = →a
→OB = →b
→OC = →c

とすれば

→OM = (1/2)→a
→OQ = →OB + (1/3)→BC
　　　= →OB + (1/3)( →OC - →OB )
　　　= →b + (1/3)→c - (1/3)→b
　　　= (2/3)→b + (1/3)→c　　　①

よって
　→OR = →OM + →MR
　　　= →OM + (1/2)→MQ
　　　= →OM + (1/2)(→OQ - →OM)
　　　= →OM + (1/2)→OQ - (1/2)→OM
　　　= (1/2)→OM + (1/2)→OQ
　　　= (1/4)→a + (1/3)→b + (1/6)→c　　　②

ここまでは分かりましたか？

あとは、同様にして →OP を求めます。
R も P も、三角形 OAQ の上にあるのは分かりますね？　ちゃんと図を書いてね。
つまり、0<k<1 を適当な実数として
　→OP = →OA + →AP
　　　= →OA + k→AQ
　　　= →OA + k(→OQ - →OA)
　　　= (1 - k)→OA + k→OQ
　　　= (1 - k)→a + k[ (2/3)→b + (1/3)→c ]　　　←①を代入

これが②の延長上なので、1<m を適当な実数として
　　→OP = m→OR
と書ける。従って
　　1 - k = (1/4)m
　　(2/3)k = (1/3)m
　　(1/3)k = (1/6)m
の関係が成り立たないといけない。
これより
　　k = 2/3
　　m = 4/3

この m が求める答えで、
　　OR : OR = |→OR| : |→OP| = 1 : (4/3) = 3 : 4

(2) △BCDは正三角形なので、その重心を G とすれば
　→BG = (1/3)(→BC + →BD)　　　③
です。分からなければ、自分でちゃんと確認しておいてください。
　→BC = →AC - →AB　　　④
　→BD = →AD - →AB　　　⑤
ですから、③に代入して
　→BG = (1/3)(→BC + →BD)
　　　　= (1/3)( →AC - →AB + →AD - →AB)
　　　　= (1/3)( →AC + →AD - →2AB)

従って
　→AG = →AB + →BG
　　　　= →AB + (1/3)( →AC + →AD - →2AB)
　　　　= (1/3)( →AB + →AC + →AD )　　　⑥

ここで、BC の中点を N とすると
　　→AN = (1/2)( →AB + →AC )
より
　　 →AB + →AC = 2→AN
で
　　→BC ⊥ →AN

また、
　　→AD = →AN + →ND
で
　　→BC ⊥ →ND

以上より、⑥を変形すると
　　→AG = (2/3)→AN + (1/3)(→AN + →ND)
　　　　　= →AN + (1/3)→ND　　　　⑦

⑦と →BC の内積を取ると
　　(→AG)･(→BC) = (→AN + (1/3)→ND)･(→BC)
　　　　　　　　　= (→AN)･(→BC) + (1/3)(→ND)･(→BC)
ここで、→BC ⊥ →AN、→BC ⊥ →ND より
　　(→AN)･(→BC) = 0
　　(→ND)･(→BC) = 0
なので、
　　(→AG)･(→BC) = 0

従って、→AG ⊥ →BC である。