ベクトル絶対値の二乗について（子供の塾の先生の教え方について）

↑a+↑b=↑0の場合、

↑a=-↑b … ①
両辺の大きさを比較して、
｜↑a｜=｜↑b｜ … ②
両辺を二乗して、
｜↑a｜^2=｜↑b｜^2 … ③

塾では①から③を求める場合、
一旦②の『絶対値の形にしてから計算する。』と教わったそうです。
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しかしながら、
↑a=-↑b … ①
①の両辺の内積を計算して
｜↑a｜^2=｜↑b｜^2 … ③

のように②を省略しても、OKでは？と感じます。
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②を書かないと、受験数学では減点となるでしょうか、あるいは、厳密性（？）にかけると判断されるのでしょうか？

このあたりの事情について、お分かりの方がおられましたらよろしくお願い申し上げます。

No.2 ベストアンサー 回答者： はーつほーん 回答日時： 2017/03/24 02:41

数学科の者です。

ベクトルの定義からして、「↑a=-↑b」というのは、↑a と↑b は大きさは同じだけど向きは逆、ということを表しています。ですので②の意味も含んでおり、省いても全く問題ありません。塾の先生が②を教えたのは、「大きさが同じ」ということを強調させるためだと思います。その方が生徒にとって分かりやすいですからね。
この問題に関しては以上です。

ここからは私が大学の先生方(入試の採点者にあたる人達)を見ている中での考えです。数学の解答を書く際に大事なのは、途中式を全部書くことではないと思います。論理が首尾一貫していて、理解に必要なプロセスが書いてあることが大事だと思います。大学の先生方はそれを重要視されます。
結論とそのプロセスを分かっていれば論理の首尾一貫性はまあ大丈夫かなと思いますので、結論に向けてどのくらいのプロセスを書くかが悩みどころですよね。今回の質問もそうだと思います。
入試は時間との戦いですので、定義から直ちに分かることやごく簡単な途中式はいちいち書かなくて良いと思います。今回の質問だって、「↑a=-↑b」は「｜↑a｜=｜↑b｜」を含んでいることがベクトルの定義から直ちに分かるので書かなくて良いのです。それに対し、例えば積分の計算などは答えが定義から分かることでは無いので途中式もしっかりめに書かなければなりません。この辺の判別ですが、数学の語句や記号の意味をしっかり分かっていないと出来ません。数学の受験勉強といえば問題演習を思い浮かべますが、まずは用語や記号の定義です。不安なら途中式を全部書いても良いですが、時間を短縮するために解答を書く際のさじ加減を分かっていると便利かなと思います。
これらのことは、これからの勉強にぜひ活かしていただければと思います！

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

塾の先生の意図が理解できました。

「実際の試験で時間が迫っていた場合は省略してもよい」も、よくわかりました。

またよろしくお願いします。

お礼日時：2017/03/24 20:11

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2017/03/23 09:38

＞②を書かないと、受験数学では減点となるでしょうか、あるいは、厳密性（？）にかけると判断されるのでしょうか？

それはないと思います。そもそも「受験数学」で、途中式を書かせること自体が少ないでしょう。
下記の意味が分かっているうえでの「省略」なら問題ないはずです。

＞塾では①から③を求める場合、
＞一旦②の『絶対値の形にしてから計算する。』と教わったそうです。

「ベクトルの二乗」というもの自体は存在せず、「ベクトルの長さ」という「スカラー」の二乗であることをきちんと理解させるための手順かと思います。

「内積」を計算する上での「絶対値」も同じことです。単に「公式」として覚えると、本質を理解できないまま通り過ぎます。

この回答へのお礼

ご返答ありがとうございます。

＞「ベクトルの二乗」というもの自体は存在せず、「ベクトルの長さ」という「スカラー」の二乗であることをきちんと理解させるための手順かと思います。
塾の先生がわざわざかかせる目的がわかりました。

子供は、ベクトルを習い始めたところなので、絶対値に変換する手続きを踏ませることにします！

お礼日時：2017/03/25 08:44