高校物理、ケプラー問題

図の遠日点での速さ、近日点での速さをそれぞれuf,unとする。
また、太陽と遠日点、近日点を半径として円運動するときの速さをvf,vnとするとき、
uf<vf,un>vnであることは自明で、
uf<vfだからこそ、近日点が、太陽と遠日点との半径よりも近くなり、
逆に、un>vnだからこそ、遠日点は太陽と近日点との半径よりも遠くなっているとの発言を授業で聞いたのですが、ピンときませんでした。
どういうことなのでしょうか？

質問者からの補足コメント

• 回答ありがとうございます。
  近日点、遠日点という言葉から面積速度を考えるのかと思いましたが、軌道が違うので比較の仕様がないと思い、混乱してしまいましたが、要するに、
  楕円の長半径はa=-GMm/2Eで与えられ、Eが大きいほど長半径aは大きい。
  un>vEより、楕円の半径＞近日点と太陽の半径、uf<vfより、楕円の半径＜遠日点と太陽の半径という関係が成り立つということですか？

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2017/05/12 13:05

No.3 回答者： syotao 回答日時： 2017/05/13 18:37

そうですね、はじめから　a=-GMm/2E　を使うつもりなら、以下のような計算でも確認できます：

Rp、REを遠日点、近日点の半径として
だ円運動について、Ｅ＝ｍuf²/2－ＧＭｍ/Rp　を代入して
a＝GM/(2ＧＭ/Rp－uf²)　がなりたち、半径Rpの円運動についても、同じようにして
Rp＝GM/(2ＧＭ/Rp－ｖf²)　がなりたつので、図の条件から出てくる　a＜Rpを考えれば
uf<vf　が結論されます。
また同じだ円運動について、Ｅ＝ｍun²/2－ＧＭｍ/RE　がなりたつので
a＝GM/(2ＧＭ/RE－un²)　とも書け、半径REの円運動について
RE＝GM/(2ＧＭ/RE－ｖn²)　もなりたつので、図の条件から出てくる　RE＜aとあわせて、
un>vn　も出てきます。

逆に、uf<vf　un>vn　から同じ式を使ってRE＜Rp　が出てきます。

No.2 回答者： d9win 回答日時： 2017/05/13 12:20

図のP点を通って半径Rの円運動していた小惑星mをP点で進行方向に加速すると、mは元の円軌道の外側を辿って、太陽に対してP点の反対側ではR+αの位置を通って、元のP点に戻った時には少し太陽に近づいた楕円軌道になります。

それは、下記に述べるように、楕円軌道の長径(遠日点半径+近日点半径)は小惑星の全エネルギーに反比例する為です。加速して運動エネルギーが増えた分だけ全エネルギーも増えますので、軌道半径が変わります。

さて、あなたの言うa=-GMm/2Eは正しくないと思います。
E= mv^2/2 - GMm/rが、全エネルギーEと半径rの正しい関係です。
この式の両辺にr^2を乗じるとrの2次方程式となりますが、その2つの解の和(r1+r2)は、r1+r2= -(rの係数)/(r^2の係数)= -(GMm)/Eとなります。r1とr2は遠日点と近日点の半径ですので、楕円の長径2a= r1+r2は全エネルギーEと反比例の関係になります。

しかしながら、今回の問題では、そのようなことを持ち出さない方が分かり易いと思います。
ちなみに、長半径2aが同じ楕円軌道の小惑星は、全て同じエネルギーを有していると言えます。

No.1 回答者： d9win 回答日時： 2017/05/12 10:58

小物体mが遠日点を通る円運動する状況では、mは、速度が一定のまま、常に一定の率で太陽方向に落下してます。

この時、太陽を通り過ぎようとするmを、太陽の引力が引き止めていると見なすことが出来ます。
mの遠日点での速度がそれよりも小さい場合には、太陽の引力が優りますので落下率は増えて、太陽への近づき方が大きくなります。このため、元の円軌道よりも半径の小さい軌道を辿ります。
mの遠日点での速度がそれよりも大きい場合には、mの運動に対する太陽の引力の影響が相対的に小さくなりますので、元の円軌道よりも半径の大きい軌道に移ります。

例えば、ある円軌道を巡っている人工衛星をそれよりも遠い円軌道に移そうとする時、まず近日点で(進行方向に)速度を上げて楕円軌道に移り、円日点で再び進行方向に速度を上げることが最も効率的と言うことです。